La derivaĵo de la sinuso de la angulo egalas la kosinuso de la sama angulo

Dana simpla trigonometrio funkcio y = Peko (x), estas diferencialebla je ĉiu punkto de la tuta havaĵo. Ni devas pruvi, ke la derivaĵo de la sine de ajna argumento egalas la kosinuso de la sama angulo, tio estas, '= Cos (x).

La pruvo estas bazita sur la difino de derivaĵo funkcio

Ni difini x (arbitra) en iu malgranda najbareco de aparta punkto x Δh _0. Ni montros la funkcio valoron en ĝi, kaj je la punkto x trovi la pliigo de donita funkcio. Se Δh - argumento incremented, la nova argumento - ĉi x ₀ + Δx = x, la valoro de ĉi tiu funkcio por donita valoro de la argumento (x) egalas Peko (x ₀ + Δx), la funkcio valoro ĉe specifa punkto (x ₀₎ estas ankaŭ konata .

Nun ni havas Δu = Peko (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - akiris pliigo funkcio.

Laŭ la formulo de sinuso sumo de du neegalaj anguloj ni konverti la diferenco Δu.

Δu = Peko (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Peko (Δx) minus Peko (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Peko ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Peko (Δh).

Farite permuto kondiĉoj grupigita unua triono Peko (x _0), prenita el la komuna faktoro - sinuso - la krampoj. Ni ricevis en la esprimo Cos diferenco (Δh) -1. Ĝi lasis ŝanĝi la signon antaŭ la parentezo kaj krampoj. Sciante kio la 1-Cos (Δh), ni faras la ŝanĝon kaj akiri simpligita esprimo Δu, kiu tiam estas dividita per Δh.
Δu / Δh havos la formon: Cos (x ₀₎ · Peko (Δh) / Δh 2 · Peko ² (0,5 x Δh) · Peko (x ₀₎ / Δh. Ĉi tiu estas la rilatumo de la pliigo de la funkcio por la akcepto al la pliigo de la argumento.

Ĝi restas por trovi la limon de la rilatumoj ricevita per ni dum lim Δh, inklinante nulo.

Ĝi scias ke la limo Peko (Δh) / Δx estas egala al 1, sub la kondiĉo. Kaj la esprimo 2 · Peko ² (0,5 x Δh) / Δh en la rezulta sumo aparta transformoj al produkto kiu enhavas kiel unua multiplikanto rimarkinda limon: la numeratoro de la frakcio kaj znemenatel dividi per 2, la kvadrato de la sinuso anstataŭi produkto. Jen kiel:
(Peko (0.5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Peko (Δx / 2).
La limo de tiu esprimo kiam Δh inklinas nulon, estos egala al la nombro de nulo (0 multiplikita per 1). Montriĝas, ke la limo de la rilatumo Δy / Δh estas Cos (x ₀₎ · 1-0, tio Cos (x _0), la esprimo de kiu estas sendependa de Δh inklinante 0. La konkludo: la derivaĵo de la sine de ajna angulo egalas x kosinuson de x, povas esti skribita kiel: y '= Cos (x).

La rezultanta formulo estas listigita en la tablo de la konata derivaĵoj, kie ĉiuj elementaj funkcioj

Solvi problemojn, kie li renkontas la derivaĵo de la sino, vi povas uzi la regulojn de diferenciación kaj pretan formuloj de la tablo. Ekzemple: trovi la derivaĵo de la plej simpla funkcio y = 3 · Peko (x) -15. Ni uzas la elementa derivaĵo reguloj forigo nombra faktoro por la signo de la derivaĵo kaj kalkuli la derivaĵon konstanta nombro (kiu estas nulo). Apliki sine tablo valoro de la derivaĵo de la angulo x egala Cos (x). Ricevi la respondon: y '= 3 · Cos (x) -O. Tiu derivaĵo, siavice, estas ankaŭ elementaj funkcio y = H · Cos (x).

La derivaĵo de sinuso akorditaj de ajna argumento

En la ŝtono de la esprimo (Peko ² (x)) 'Memoru, kiel diferencitaj kompleksa funkcio. Do, ² = Peko (x) - estas povo funkcio kiel sinuso kvadrato. Lia argumento estas ankaŭ trigonometria funkcio, kompleksa argumento. La rezulto en ĉi tiu kazo estas egala al la produkto de la unua multiplikanto estas kvadrato de la kompleksa derivaĵo de la argumento, kaj la dua - la derivaĵo de la sinuso. Jen la regulo por diferenci funkcio de funkcio: (u (v (x))) 'estas (u (v (x)))' · (v (x)) ". Esprimo de v (x) - kompleksa argumento (interna funkcio). Se la donita funkcio "y egalas la sinuso kvadrato x", tiam la derivaĵo de ĉi komponigita funkcio estas y '= 2 · Peko (x) · Cos (x). La produkto de la unua multiplikanto duobligis - derivaĵo konata eksponenta funkcio kaj Cos (x) - derivaĵo sinus kompleksa argumento de la kvadrata funkcio. La fina rezulto povas esti transformita uzante la formulo de la trigonometria sine de la duobla angulo. A: La derivaĵo estas Peko (2 · x). Tiu formulo estas facile memori, ĝi estas ofte uzita kiel tablo.