Tio estas tangento al la rondo? Proprietoj de la tanĝanta al la cirklo. La komuna tangento al la du rondoj

Secantes, tangentes - ĉiuj ĉi centfoje aŭdiĝis sur la geometrio lecionoj. Sed la demando pri lernejo malantaŭe, pasi la jaro, kaj la tutan tiun scion forgesita. Kion mi memoras?

esenco

La termino "tanĝante al cirklo" signo, eble, ĉion. Sed estas neverŝajne, ke ĉiuj estos rapide formuli difino. Dume nomiĝas tangenta linio kuŝis en la sama aviadilo, kiel la cirklo kiu sekcas ĝin en nur unu punkto. Ilia miriado eble ekzistas, sed ili ĉiuj havas la samajn propraĵojn, kiu parolos sube. Kiel vi eble konjektas, la punkto de kontakto aludis la loko, sur kiu la cirklo kaj la linio sekcas. En ĉiu kazo, ĝi estas unu, se estas pli, tiam estos transversaj.

La historio de la malkovro kaj studo

La koncepto de tangenta aperis en antikvaj tempoj. La konstruado de ĉi tiuj linioj por la unua cirklo, kaj tiam al la elipsoj, paraboloj kaj hiperboloj kun estro kaj kompaso tenis ankoraŭ en la fruaj stadioj de la evoluo de geometrio. Kompreneble, la historio ne konservis la nomon de la eltrovinto, sed estas klare, ke eĉ en tiu tempo homoj estis bone konata propraĵoj de tanĝante al cirklo.

En modernaj tempoj la intereso en tiu fenomeno ekis denove - komencis novan ĉirkaŭvojon de studo de ĉi tiu koncepto kune kun la malfermo de novaj kurboj. Tiel, Galileo enkondukis la koncepton de cikloido kaj Fermat kaj Kartezio konstruis tanĝanta al ĝi. Koncerne la rondoj, ŝajnas, estas por la antikvaj sekretoj restis en ĉi tiu areo.

ecoj

Radiuso tirita al la punkto de intersekco estos perpendikulara al la linio. ĉi ĉefa, sed ne la sola proprieto kiu estas tangento al la cirklo. Alia grava trajto jam inkludas du rektaj. Do, per ununura punkto, kiu kuŝas ekster la cirklo, eblas tiri du tangentes, kaj iliaj longoj estas egalaj. Ekzistas alia teoremon pri ĉi tiu temo, sed ĝi estas malofte okazis en la kadro de la norma lernejo kurson, sed estas ekstreme utila por solvi iujn problemojn. Ĝi iras kiel sekvas. De unu punkto situas ekster la cirklo, desegni tangento kaj sekanto al ĝi. Formita segmentojn AB, AK kaj AD. A - la komunaĵo de linioj, B la punkto de tangency, C kaj D - transirejo. En ĉi tiu kazo, la jenan ekvacion validas: la longo de la tanĝanta al la cirklo, kvadrato, egalas la produkto de la segmentoj AK kaj AD.

Laŭ la supraj, ekzistas grava korolario. Por ĉiu punkto de la cirklo, oni povas konstrui tangento, sed nur unu. La pruvo de ĉi tiu estas sufiĉe simpla: teorie malsupren al ĝi perpendikulara al la radiuso, ni trovas, ke estis triangula povas ekzisti. Kaj tio signifas ke la tangenta - la nura unu.

konstruaĵo

Interalie taskoj en geometrio estas speciala kategorio, kiel regulo, ne estas amata de lernantoj kaj studentoj. Por solvi la taskojn de ĉi tiu kategorio nur bezonas kompason kaj reganto. Estas la tasko de konstruaĵo. Tie ili konstruu sur tangento.

Do, donita cirklo kaj punkto kuŝas ekstere de liaj limoj. Kaj vi devas navigi tra ili tangento. Kiel vi faris tion? Unue, vi devas elspezi la tempo inter la centro de cirklo O kaj metis punkton. Poste, kun la helpo de kompaso devus dividi ĝin en duono. Por fari tion, vi devas agordi la radioaparaton - iom pli ol la duonon de la distanco inter la centro de la cirklo kaj la origina punkto. Tiam vi bezonas por konstrui du sekcanta arkoj. La radiuso je la ŝanĝo ne estu la kompaso, kaj la centro de ĉiu flanko de la rondo estos la origina punkto, kaj ho, respektive. Lokoj arkojn intersekcoj devas konekti tiu sekcio tranĉita en duono. Demandu ĉe la kompaso radiuso egala al la distanco. Plue, kun la centro je la kruciĝo konstrui alian rondon. Ĝi estos bazita sur kaj la origina punkto, kaj O. En ĉi tiu kazo, estos du intersekcoj kun tiu problemo en cirklo. Ke estos punktoj de renkonto por la komence precizigita punkto.

interesaj

Oni konstruas tanĝante al cirklo kaŭzis la naskiĝon diferenciala kalkulo. La unua laboro pri ĉi tiu temo estis publikigita fare de la fama germana matematikisto Leibniz. Ĝi zorgis pri la eblo de trovi la maksimumoj, minimumoj kaj tangentes, sendepende de la frakcia kaj malracia kvantoj. Nu, nun ĝi estas uzata por multaj aliaj kalkuloj.

Cetere, la tanĝanta al la cirklo asociita kun la geometria tangento senco. Estas de ĉi tiu, kaj ĝia nomo venas. Tradukita de la latina tangens - "tangento". Tiel, ĉi tiu koncepto estas ne nur geometrio kaj diferenciala kalkulo, sed kun trigonometrio.

du rondoj

Ne ĉiam tanĝanta zatragivet nur unu figuro. Se vi ne povas elspezi multajn liniojn al unu cirklo, tiam kial ne inverse? Eblas. Tio estas nur la problemo en ĉi tiu kazo estas serioze komplikita, ĉar la tangento al la du rondoj ne povas trapasi ajna punkto, kaj la relativa pozicio de ĉiu de ĉi tiuj ciferoj povas esti tre malsamaj.

Tipoj kaj varioj

Kiam ĝi venas al la du rondoj kaj unu aŭ pli da linioj, tiam eĉ se vi scias, ke temas pri, ne tuj klara kiom ĉiuj el ĉi tiuj pecoj estas aranĝitaj en rilato al la alia. Sur tiu bazo, ekzistas pluraj varioj. Do, la cirklo povas havi unu aŭ du komunaj punktoj, aŭ neniu ajn. En la unua kazo, ili koincidas, kaj la dua - tuŝi. Kaj ĉi tie estas du varioj. Se unu cirklo, kiel ĝi enigita en la dua, la tuŝo estas nomita interna se ne - tiam la ekstera. Kompreni la relativa pozicio de la pecoj ne nur baziĝi sur la desegno, sed havanta informon pri la sumo de siaj radioaparatoj kaj la distanco inter iliaj centroj. Se tiuj du valoroj estas egalaj, tiam la rondoj tuŝi. Se la unua pli - sekci kaj alie - ne komunaj punktoj.

Tiel ankaŭ estas rektoj. Por ĉiuj du rondoj ne havante komuna punktoj povas esti
konstrui kvar tangentes. Du el ili estos parte kovri inter la figuroj, ili estas nomataj internaj. Paro de aliaj - eksteraj.

Se ni parolas pri cirkloj, kiuj havas unu punkto en komuna, la problemo serioze simpligita. La fakto estas ke en iu ajn reciproka aranĝo, en ĉi tiu kazo la tangenta ili havos nur unu. Kaj ĝi pasas tra la punkto de komunaĵo. Tiel ke la konstruaĵo ne kaŭzas malfacilaĵojn.

Se la ciferoj estas du punktoj de komunaĵo, do ili povas esti konstruita linio tanĝante al cirklo kiel tiu, la dua, sed nur ekstere. La solvo al ĉi tiu problemo estas simila al kio estas diskutita poste.

Renkonti la defiojn

Tiel internaj kiel eksteraj tangento al la du rondoj en la konstruaĵo ne estas tiel simpla, kvankam, kaj tiu problemo estas solvita. La fakto, ke la helpa ŝablono estas uzata por ĉi tiu, do eltrovis tian metodon sole Ĝi estas sufiĉe problema. Do, donita du rondoj kun malsamaj radioaparatoj kaj centroj Aŭ1 kaj Aŭ2. Por ili, la bezono por konstrui du parojn de tangentes.

Unue, pri la centro de la pli granda cirklo konstrui helpema. Samtempe sur la kompaso devas agordi la diferenco inter la radiusoj de la du originalaj figuroj. De la centro de la pli malgranda cirklo tangento al la helpa konstruita. Poste de Aŭ1 kaj Aŭ2 okazas perependikulyary tiuj rekte al la kruciĝo kun la originalaj figuroj. Kiel sekvas el la bazaj propraĵoj de la tangento, la bezonata punktoj troviĝas sur ambaŭ rondoj. La problemo estas solvita, almenaŭ en lia unua parto.

Por konstrui internajn tangentes devas solvi preskaŭ similan problemon. Denove, ni bezonas helpan figuron, sed ĉi-foje ĝia radiuso estas egala al la sumo de la originalo. Al ŝi konstrui tangento de la centro de unu el ĉi tiuj rondoj. La plua paso de la decido povas kompreni de la antaŭa ekzemplo.

La tanĝanta al la cirklo, aŭ eĉ du aŭ pli - ne tia malfacila tasko. Kompreneble, matematikistojn longe ĉesis solvi similajn problemojn permane kaj esperas kalkuli specialaj programoj. Sed ne kredas ke ĝi nun estas ne nepre povos fari ĝin vi mem, ĉar por ĝentila formuliĝo de la tasko por la komputila fari multe kaj komprenas. Bedaŭrinde, oni timas, ke post la fina transiro al la testo formo de scio kontrolo problemoj sur konstruo kaŭzos la studentoj pli kaj pli malfacilaĵojn.

Kaj pri trovi la komunajn tangentes al pli rondoj, ne ĉiam eblas, eĉ se ili kuŝas en la sama aviadilo. Sed en iuj kazoj eblas trovi tian linion.

vivo ekzemploj

La komuna tangento al la du cirkloj estas ofte trovitaj en praktiko, kvankam ĝi ne estas ĉiam klara. Conveyors, modulaj sistemoj, transdono zonoj pulioj, streĉiĝo de la fadeno en kudromaŝino, sed eĉ nur biciklo ĉeno - ĉiuj ekzemploj de vivo. Do ne kredas ke geometria problemoj restas nur teorie: en inĝenieristiko, fiziko, konstruo kaj multaj aliaj areoj estas en praktika uzo.