La diagonalo de egallatera trapezo. Kio estas la averaĝa trapezo-linio. Tipoj de trapezo. La trapezo estas ..

Trapeze - speciala kazo de kvarangulo, en kiu unu paro de flankoj estas paralelaj. La termino "trapezo" devenas el la greka vorto τράπεζα, kio signifas "tablo", "tablon". En ĉi tiu artikolo ni esploros pri specoj de trapezo kaj liaj proprietoj. Ankaŭ, ni rigardu kiel kalkuli la individuaj elementoj de la geometria figuro. Ekzemple, la diagonalo de egallatera trapezon, la meza linio, areo kaj aliaj. La materialo enhavita en la elementa geometrio populara stilo, t. E. En facile alirebla maniero.

Superrigardo

Unue, ni komprenos kio estas kvarangulo. Tiu figuro estas speciala kazo de plurlatero havanta kvar flankojn kaj kvar verticoj. Du verticoj de kvarlatero, kiuj ne apuda, nomita malo. La sama povas esti dirita de la du ne-najbaraj lateroj. La ĉefaj tipoj de quadrangles - paralelogramo, rektangulo, rombo, kvadrato, trapezo kaj deltoides.

Do reen al la trapezo. Kiel ni diris, ĉi tiu figuro la du flankoj estas paralelaj. Ili estas nomitaj bazoj. La aliaj du (ne-paralela) - la flankoj. La materialoj de la diversaj ekzamenoj kaj ekzamenoj tre ofte povas renkonti defiojn asociita kun trapezoj kies solvo ofte postulas la studento scio ne estas kovrita de la programo. Lernejo Kurso geometrio enkondukas lernantoj kun anguloj proprietoj kaj diagonaloj kaj ankaŭ la meza linio de izocela trapezo. Sed krom tiu raportita geometria formo havas aliajn funkciojn. Sed pri ili poste ...

tipoj trapezo

Estas multaj tipoj de ĉi tiu figuro. Tamen, plej ofte kutima konsideri du el ili - izocelaj kaj rektangula.

1. Rektangula trapezo - figuro en kiu unu el la flankoj perpendikularaj al la bazo. Ŝi havas du anguloj estas ĉiam egala al naŭdek gradoj.

2. izocelaj trapezon - geometria figuro kies flankoj estas egalaj. Do, kaj la anguloj en la fundamento ankaŭ estas egalaj.

La ĉefa principoj de metodoj por studi la propraĵoj de la trapezo

La bazaj principoj inkludas la uzon de tiel nomataj tasko aliron. Fakte, ne estas neceso por eniri en teoriaj kurson Geometrio de novaj ecoj de ĉi tiu figuro. Ili povas esti malfermita aŭ en la procezo de formuli la diversajn taskojn (pli bona sistemo). Estas tre grave ke la instruisto scias kio taskoj vi devas meti antaŭ studentoj en momento donita de la procezo de lernado. Krome, ĉiu trapezo propraĵo povas esti prezentita kiel ŝlosilan taskon en la tasko sistemo.

La dua principo estas la tiel nomata spiralo organizo de la studo "rimarkinda" trapezo ecoj. Ĉi tio implicas revenon al la procezo de lernado de la individuaj trajtoj de la geometria figuro. Tiel, la studentoj pli facile memori ilin. Ekzemple, la posedaĵo de la kvar punktoj. Ĝi povas esti pruvita kiel en la studo de simileco kaj poste uzante vektoroj. Al Egala trianguloj apud la flankoj de la figuro, eblas pruvi per uzo de ne nur la proprietoj de trianguloj kun egalaj altaĵoj kondukita al la flankoj de kiuj kuŝas sur rekto, sed ankaŭ uzante la formulo S = 1/2 (ab * sinα). Cetere, eblas ellabori la leĝon de sinojn al la enskribita trapezon aŭ dekstra-angled triangulo kaj trapezaj priskribita en t. D.

La uzo de "extracurriculares" havas geometria figuro en la enhavo de la lernejo kurson - a tasking ilia teknologio instruado. Konstantaj referenco por studi la proprietojn de la pasejo de la alia permesas studentojn lerni la trapezo pli kaj certigas la sukceson de la tasko. Do, ni iru al la studo de tiu rimarkinda figuro.

Eroj kaj posedaĵoj de izocela trapezo

Kiel ni jam notis, en ĉi tiu geometria figuro flankoj estas egalaj. Tamen estas konata kiel rajto trapezo. Kaj kio estas ĝi tiel rimarkinda kaj kial ricevis sian nomon? La specialaj karakterizaĵoj de ĉi tiu figuro raportas ke ŝi havas ne nur egalaj flankoj kaj anguloj en la bazo, sed ankaŭ diagonale. Krome, la sumo de la anguloj de izocela trapezo egalas 360 gradojn. Sed tio ne estas ĉiu! Nur ĉirkaŭ izocelaj povas esti priskribita per cirklo de ĉiuj konataj trapezoj. Ĉi tio estas pro la fakto, ke la sumo de kontraŭaj anguloj en ĉi tiu figuro estas 180 gradoj, kaj nur sub tiu kondiĉo povas esti priskribita kiel cirklo ĉirkaŭ la kvarangulo. Jenaj propraĵoj de la geometria figuro estas ke la distanco de la supro de la bazo al la projekcio de la kontraŭaj pintoj sur la linio kiu enhavas ĉi tiu bazo estos egala al la duona linio.

Nun ni rigardu kiel trovi la anguloj de izocela trapezo. Konsideru solvon al ĉi tiu problemo, kondiĉe ke la grandeco de la partioj konata figuro.

decido

Ĝi estas kutima al signifi la kvarangulo literoj A, B, C, D, kie la BS kaj BP - fondaĵo. En izocela trapezo flankoj estas egalaj. Ni supozas ke ilia grandeco egalas X kaj Y dimensioj estas bazoj kaj Z (malpli grandan kaj pli grandan, respektive). Por la ŝtono de la angulo de la bezono pasigi en la alto H. La rezulto estas dekstra-angled triangulo ABN kie AB - la hipotenuzo kaj BN kaj AN - la kruroj. Kalkuli la grandecon de kruro AN: subtrahi el la pli grandaj bazo minimuma, kaj la rezulto estas dividita per 2. registran formulon: (zi) / 2 = F. Nun, por kalkuli la akra angulo de la triangulo uzo funkcio cos. Akiras la sekvan eniron: cos (β) = X / F. Nun kalkuli la angulo: β = Arcos (X / F). Plue, sciante unu angulo, oni povas difini kaj dua, por fari tiun elementa aritmetiko operacio: 180 - β. Ĉiuj anguloj estas difinitaj.

Ankaŭ ekzistas dua solvo de tiu problemo. Komence estas preterlasita de la angulo en la alteco de la kruro N. kalkulas la valoron de la BN. Ni scias, ke la kvadrato de la hipotenuzo de orta triangulo estas egala al la sumo de la kvadratoj de la aliaj du flankoj. Ni akiras: BN = √ (X2 F2). Tuj, ni uzu la trigonometria funkcio tg. La rezulto estas: β = arctg (BN / F). La akra angulo troviĝas. Tuj, ni difini obtuza angulo kiel en la unua metodo.

La proprieto de la diagonaloj de izocela trapezo

Unue, ni skribas la kvar reguloj. Se la diagonalo en izocela trapezo estas perpendiculares, tiam:

- la alteco de la figuro estas egala al la sumo de bazoj, dividitaj de du;

- lia alteco kaj la meza linio estas egalaj;

- areo de la trapezo egalas al la kvadrato de la alto (centra linio al duona bazoj);

- la kvadraton de la diagonalo de kvadrato estas egala al la duono de la sumo de dufoje la kvadrata bazoj aŭ duona linio (alto).

Nun rigardi la formulo difini la diagonalo egallatera trapezo. Tiu peco de informo povas esti dividita en kvar partoj:

1. Formulo diagonala longo tra lia flanko.

Ni supozas ke A estas - pli malaltan bazo, B - Top, C - egalaj flankoj, D - diagonalo. En ĉi tiu kazo, la longo povas esti difinita tiel:

D = √ (C 2 + A * B).

2. Formulo por la diagonala longeco de la kosinuso.

Ni supozas ke A estas - pli malaltan bazo, B - Top, C - egalaj flankoj, D - diagonalo, α (ĉe la pli malalta bazo) kaj β (la supra bazo) - trapezo anguloj. Akiras la sekvan formulon, per kiu oni povas kalkuli la longon de la diagonalo:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosα);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosα).

3. Formulo diagonala longeco de izocela trapezo.

Ni supozas ke A estas - pli malaltan bazo, B - supra, D - diagonalo, M - meza linio H - alteco, P - areo de la trapezo, α kaj β - la angulo inter diagonaloj. Determini la longon de la sekvaj formuloj:

- D = √ (M2 + N 2);

- D = √ (H 2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2M * N / sinα).

Por ĉi tiu kazo, la egaleco: sinα = sinβ.

4. Formulo diagonala longo tra la flankoj kaj alteco.

Ni supozas ke A estas - pli malaltan bazo, B - Top, C - flankoj, D - diagonalo, H - alteco, α - angulo kun la pli malalta bazo.

Determini la longon de la sekvaj formuloj:

- D = √ (H 2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H 2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H 2)).

Eroj kaj posedaĵoj de rektangula trapezon

Ni rigardu, kio interesas ĉi geometria figuro. Kiel ni jam diris, ni havas rektangulan trapezo du ortoj.

Krom la klasika difino, estas aliaj. Ekzemple, rektangula trapezo - trapezo en kiu unu flanko estas perpendikulara al la bazo. Aŭ formi havanta ĉe flanko anguloj. En ĉi tiu tipo de trapezoj alteco estas la flanko kiu estas perpendikulara al la bazoj. La meza linio - segmento kiu kunigas la mezpunktojn de la du flankoj. La propraĵo de diris elemento estas, ke ĝi estas paralela al la bazoj kaj egala al duono de ilia sumo.

Nun ni konsideru la bazaj formuloj kiuj difinas la geometriaj formoj. Por fari tion, ni supozas ke A kaj B - bazo; C (perpendikulara al la bazo) kaj D - flankoj de la rektangula trapezon, M - meza linio, α - akra angulo, P - areo.

1. La flanko perpendikulara al la bazoj, figuro egala al la alto (C = N), kaj egalas la longon de la dua flanko A kaj la sinuso de la angulo α je granda bazo (C = A * sinα). Cetere, estas egala al la produkto de la tangente de la akra angulo α kaj la diferenco en bazoj: C = (A-B) * tgα.

2. La flanko D (ne perpendikulara al la bazo) egala al la kvociento de la diferenco de A kaj B kaj kosinuso (α) aŭ akra angulo al la privata alteco figuroj H kaj sinuso akra angulo: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. La flanko kiu estas perpendikulara al la bazoj, estas egala al la kvadrata radiko de la kvadrato de la diferenco D - la dua flanko - kaj kvadrata bazo diferencoj:

C = √ (q 2 (A-B) 2).

4. Flanko A rektangula trapezo egalas la kvadrata radiko de kvadrata sumo de kvadrata flanko kaj C bazoj geometria formo diferencon: D = √ (C 2 + (Al-B) 2).

5. La flanko C egalas la kvociento de la kvadrata duobla sumo de ĝia bazoj: C = P / M = 2P / (A + B).

6. La areo difinita de la produkto M (la centra linio de la rektangula trapezo) en alteco aŭ flanka direkto perpendikulara al la bazoj: P = M * N = M * C.

7 Pozicio C estas la kvociento de dufoje la kvadrata formo de la produkto sinuso akra angulo kaj la sumo de siaj bazoj: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8 Formulo flanko de rektangula trapezon tra ĝia diagonalo, kaj la angulo inter ili:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

kie D1 kaj D2 - diagonal de la trapezo; α kaj β - la angulo inter ili.

9 Formulo flanko tra angulo ĉe la pli malalta bazo kaj aliaj: A = (A-B) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Ekde la trapezo kun rekta angulo estas aparta kazo de la trapezo, la alia formuloj kiuj determinas tiujn ciferojn, renkontiĝos kaj rektangula.

Propraĵoj incircle

Se la kondiĉo diras ke en rektangula trapezo enskribita cirklo, tiam vi povas uzi la sekvajn proprietojn:

- la kvanto de la bazo estas sumo de la flankoj;

- distanco de la supro de la rektangula formo al la punktoj de tangency de la enskribita cirklo estas ĉiam egala;

- alto de la trapezo egalas la flanko, perpendikulara al la bazoj, kaj estas egala al la diametro de la cirklo ;

- la rondo centro estas la punkto je kiu sekci bisectors de anguloj ;

- se la flankaj flankoj de la punkto de kontakto estas dividita en longoj N kaj M, tiam la radiuso de la cirklo egalas al la kvadrata radiko de la produkto de ĉi tiuj segmentoj;

- kvarangulo formita de la punktoj de kontakto, la supro de la trapezo kaj la centro de la enskribita cirklo - ĝi estas kvadrata, kies flankoj estas egala al la radiuso;

- areo de la figuro estas la produkto de racio kaj de la produkto de la duone sumo de bazoj ĉe ĝia alteco.

similaj trapezo

Tiu temo estas tre utila por studi la proprietojn de geometriaj figuroj. Ekzemple, la diagonala disigo en kvar trianguloj trapezo, kaj estas najbara al la bazo de la kiel kaj al la flankoj - de egalaj. Tiu aserto povas esti nomata propraĵo de trianguloj, kio estas rompita trapezo ĝiaj diagonaloj. La unua parto de ĉi tiu aserto estas pruvita per la signo de la simileco de la du anguloj. Por pruvi la dua parto estas pli bone uzi la metodon konturita sube.

la pruvo

Akceptu ke figuro ABSD (AD kaj BC - la bazo de la trapezo) estas rompita diagonaloj HP kaj AK. La punkto de komunaĵo - O. Ni ricevas kvar trianguloj: AOC - ĉe la pli malalta bazo, BOS - la supra bazo, ABO kaj SOD ĉe la flankoj. Trianguloj SOD kaj biofeedback havas komunan alteco en tiu kazo, se la segmentojn de BO kaj OD estas iliaj bazoj. Ni trovas, ke la diferenco de iliaj areoj (P) egala al la diferenco de ĉi tiuj segmentoj: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Sekve, PSOD = PBOS / K. Simile, la trianguloj AOB kaj biofeedback havas komunan alteco. Akceptita por ilia bazo segmentojn SB kaj OA. Ni akiri PBOS / PAOB = CO / OA = K kaj PAOB = PBOS / K. De ĉi tiu sekvas, ke PSOD = PAOB.

Solidigi la materialon studentoj estas instigitaj por trovi rilaton inter la areoj de trianguloj akiris, kiu estas rompita trapezo ĝiaj diagonaloj, decidante la sekva tasko. Ĝi scias ke trianguloj BOS kaj ADP areoj estas egala, ĝi estas necesa por trovi la areo de trapezo. Ekde PSOD = PAOB do PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. De la simileco de trianguloj BOS kaj ANM sekvas ke BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Sekve, PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Akiri PSOD = √ (* PBOS PAOD). Tiam PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

ecoj simileco

Daŭrigante por disvolvi ĉi temo, eblas pruvi, kaj aliaj interesaj trajtoj de la trapezoj. Do, kun la helpo de la simileco povas pruvi la proprieto segmento, kiu pasas tra la punkto formita de la intersekco de la diagonaloj de la geometria figuro, paralela al la grundo. Por tio ni solvi la sekvan problemon: necesas trovi la longo RK segmento kiu trapasas la punkto O. De la simileco de trianguloj ADP kaj SPU sekvas, ke la AO / VIN = AD / BS. De la simileco de trianguloj ADP kaj ASB sekvas ke AB / AC = PO / d = BS / (BP + BS). Ĉi tio implicas ke la BS * PO = d / (d + BC). Simile, de la simileco de trianguloj MLC kaj ABR sekvas ke OK * BP = BS / (BP + BS). Ĉi tio implicas ke la OC kaj RC = RC = 2 * BS * d / (d + BC). Segmento pasanta tra la punkto de intersekco de la diagonaloj paralele al la bazo kaj konektanta la du flankoj, la punkto de intersekco estas dividita en duono. Ĝia longo - estas la harmona meznombro de racio ciferojn.

Konsideru la sekvan karakterizaĵoj de trapezo, kiu estas nomata la proprieto de kvar punktoj. la punkto de intersekco de la diagonaloj (D), la intersekco de la daŭrigo de la flankoj (E) kaj ankaŭ meze de bazoj (T kaj G) ĉiam kuŝi sur la sama linio. Facilas por pruvi la simileco metodo. La rezultanta trianguloj estas similaj BES kaj AED, kaj ĉiu inkluzive mezala ET kaj DLY apartigu apekso angulo E en egalaj partoj. Tial, punkto E, T kaj F estas samrektaj. Simile, en la sama linio estas aranĝitaj laŭ T, O, kaj G. Ĉi tiu sekvas de la simileco de trianguloj BOS kaj ANM. Tial ni finas ke ĉiuj kvar terminoj - E, T, O kaj F - kuŝos sur rekta linio.

Uzante similan trapezoj, povas proponi al studentoj por trovi la longo de la segmento (LF), kiu dividas la figuron en du kiel. Tiu tranĉo devas esti paralela al la bazoj. Ekde la ricevita trapezo ALFD LBSF kaj similaj, la BS / LF = LF / pK. Ĉi tio implicas ke LF = √ (BS * BP). Ni finas ke la segmento kiu dividas en du trapezon kiel, ĝi havas longitudon egala al la geometria meznombro de longoj de la bazoj diveni.

Konsideru la sekvan simileco proprieto. Ĝi estas bazita sur la segmento kiu dividas la trapezo en du egalaj grandeco pecojn. Akceptu ke trapezo ABSD segmento estas dividita en du similaj HE. De la supro de B mallevis la alto de tiu segmento estas dividita en du partojn EN - B1 kaj B2. Akiri PABSD / 2 = (BS + HE) * V1 / 2 = (AP + HE) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Plue formas la sistemon, en kiu la unua ekvacio (BS + HE) * B1 = (BP + HE) * B2 kaj dua (BS + HE) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Sekvas, ke B2 / B1 = (BS + HE) / (BP + HE) kaj BS + HE = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Ni trovas, ke la longo de dividanta la trapezo sur du egalaj, egalaj al la mezumo longaj de la kvadrata bazoj: √ ((CN2 + aq2) / 2).

simileco konkludoj

Tiel, ni pruvis, ke:

1. La segmento konektanta la mezo de la trapezo en la flankaj flankoj, paralela al BP kaj BS kaj BS estas la aritmetika meznombro kaj BP (bazo longo de trapezo).

2. La drinkejo pasanta tra la punkto O de intersekco de la diagonaloj paralelajn pK kaj BC estos egala al la harmona meznombro nombroj BP kaj BS (2 * BS * d / (d + BC)).

3. La segmento subfosado simila trapezo havas longitudon geometria meznombro bazoj BS kaj BP.

4. La elemento kiu dividas la formon en du egalaj grandeco, longa signifi kvadrataj nombroj BP kaj BS.

Solidigi la materialon kaj konscio la ligojn inter la segmentoj de la studento estas necesa por konstrui ilin por la specifa trapezo. Ĝi povas facile montri la ordinara linio kaj la segmento kiu trapasas la punkto - la komunaĵo de la diagonaloj de la figuroj - paralele al la tero. Sed kie estos la tria kaj kvara? Tiu respondo kondukos la studento al la malkovro de la nekonata rilato inter la duonaj valoroj.

Segmento aliĝante la mezpunktoj de la diagonaloj de la trapezo

Konsideru la sekvan proprieton de la figuro. Ni akceptu ke la segmento MN paralelas al la bazoj kaj dividu en duono diagonale. la punkto de komunaĵo estas nomita la Ok kaj S. Ĉi tiu segmento estos egala al la duono de la diferenco kialo. Ni rigardu tiun en pli detalo. MSH - la meza linio de la triangulo ABS, estas egala al la BS / 2. Minigap - la meza linio de la triangulo DBA, estas egala al AD / 2. Tiam ni trovos, ke SHSCH = minigap-MSH do SHSCH = d / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

centro de gravito

Ni rigardu kiel difini la elementon por donita geometria figuro. Por fari tion, vi devas etendi la bazo en kontraŭaj direktoj. Kion tio signifas? Estas necese aldoni la bazo al la supraj malsupro - al iu ajn el la partioj, ekzemple, dekstre. Al pli malalta plilongigi la longo de la supra maldekstre. Sekva, konekti ilia diagonalo. La punkto de intersekco de ĉi tiu segmento kun la centra linio de la figuro estas la centro de gravito de la trapezon.

Enskribita kaj priskribita trapezo

Ni listo enhavas tiajn figurojn:

1. Linio povas esti enskribita en cirklo nur se ĝi estas izocelaj.

2. Ĉirkaŭ la cirklo povas esti priskribita kiel trapezo, kondiĉe ke la sumo de la longoj de iliaj bazoj estas sumo de la longoj de la flankoj.

Konsekvencoj de la enskribita cirklo:

1. La alteco de la trapezo priskribis ĉiam egala al dufoje la radiuso.

2. La flanko de la trapezo priskribita estas vidita de la centro de la cirklo je ortoj.

La unua sekvo estas evidentaj, kaj por pruvi la dua estas bezonata por establi ke la angulo de SOD estas rekta, tio estas, fakte, ankaŭ ne estas facila. Sed la scio de tiu proprieto permesas uzi orta triangulo por solvi problemojn.

Nun ni specifi la konsekvencojn por la izocela trapezo, kio estas notita en cirklo. Ni sukcesi ke la alteco estas la geometria meznombro figuro bazoj: H = 2R = √ (BS * BP). Plenumante la baza metodo de solvi problemojn al trapezoj (la principo de du altecoj), la studento devas solvi la sekva tasko. Akceptu ke BT - la alteco de la izocelaj figuroj ABSD. Vi devas trovi sekcioj de AT kaj AP. Aplikante la formulo priskribita supre, ĝi faros ne malfacila.

Nun ni klarigos kiel por determini la radiuso de la cirklo de la areo priskribita trapezo. Preterlasita de la supro B alteco sur la bazo BP. Ekde la cirklo enskribita en la trapezo, la BS + 2AB = BP aŭ AB = (BS + BP) / 2. De la triangulo ABN trovaĵo sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Akiri PABSD = (BP + BS) * R, sekvas ke R = PABSD / (AD + BC).

.

Ĉiuj formuloj duona linio trapezo

Nun estas tempo iri al la lasta elemento de ĉi tiu geometria figuro. Ni komprenas, kio estas la meza linio de la trapezo (M):

1. Tra bazoj: M = (A + B) / 2.

2. Post la alteco, la bazo kaj anguloj:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Tra altecon kaj diagonala angulo therebetween. Ekzemple, D1 kaj D2 - diagonal de la trapezon; α, β - la angulo inter ili:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. En la regiono kaj alteco: M = R / N.