Bazaj konceptoj de teorio de probabloj. La leĝoj de teorio de probabloj

Multaj homoj, kiam alfrontis kun la nocio de "teorio de probabloj", timigitaj, pensante ke ĝi estas io netolerebla, tre malfacila. Sed ĝi vere ne estas tiel tragika. Hodiaŭ ni rigardu la bazaj konceptoj de teorio de probabloj, lerni solvi problemojn per konkretaj ekzemploj.

scienco

Kion studas branĉo de matematiko kiel "teorio de probabloj"? Ĝi notas skemojn de hazardaj okazaĵoj kaj variabloj. Unuafoje la temo de Koncernaj Sciencistoj en la dekoka jarcento, kiam studis hazardludo. Bazaj konceptoj de teorio de probabloj - okazaĵo. Estas iu fakto kiu deklaris per sperto aŭ observado. Sed kio estas sperto? Alia baza koncepto de la teorio de probablo. Tio signifas, ke tiu parto de la cirkonstancoj ne estas hazarde kreita, kaj kun celo. Koncerne al viglado, ekzistas la esploristo mem ne partoprenas de la sperto, sed simple atestanto al ĉi tiuj okazaĵoj, ĝi havas neniun efikon al kio okazas.

eventoj

Ni lernis ke la baza koncepto de la teorio de probablo - la okazaĵo, sed ne konsideris klasifiko. Ĉiuj ili estas dividitaj en la sekvaj kategorioj:

• Fidindaj.
• Neebla.
• Hazarda.

Ne gravas kion la okazaĵo estas, kiu estas observata aŭ kreita en la kurso de la eksperimento, estas tuŝitaj de ĉi tiu klasifiko. Ni proponas ĉiun tipon de kunvenas aparte.

certa evento

Tiu estas fakto por kiu fari la necesajn aro de aktivecoj. Por pli bone kompreni la esenco, estas pli bone doni kelkajn ekzemplojn. Tio estas malĉefa al la leĝo kaj fiziko, kemio, ekonomio, kaj pli alta matematiko. teorio de probabloj inkludas tiel gravan koncepton kiel signifa okazaĵo. Jen kelkaj ekzemploj:

• Ni laboras kaj ricevas kompenson en la formo de salajroj.
• Nu pasis la ekzamenojn, pasigis konkurado por ĝi por ricevi kompenson en la formo de akcepto al eduka institucio.
• Ni investis monon en la banko, akiri ilin se necesas.

Tiaj okazaĵoj estas veraj. Se ni plenumis ĉiujn necesajn kondiĉojn, nepre akiri la atendita rezulto.

neebla evento

Nun ni konsideru la elementoj de la teorio de probablo. Ni proponas iri al la klarigojn en la sekvaj tipoj de okazaĵoj - nome la neebla. Unue kondiĉas la plej gravan regulon - la probablo de neebla okazaĵo estas nulo.

De tiu formuliĝo ne estas derogated solvi problemojn. Ilustri ekzemploj de tiaj eventoj:

• Akvo estas frostigita al temperaturo de plus dek (ĝi estas neebla).
• La manko de elektro ne influas la produktadon (tiel neebla kiel en la antaŭa ekzemplo).

Pli ekzemploj estas donitaj estas necese, kiel priskribis pli supre tre klare pripensi la esenco de ĉi tiu kategorio. Neebla okazaĵo neniam okazas dum la eksperimento ajn.

hazarda okazaĵoj

Per studanta la elementoj de teorio de probabloj, speciala atento devas esti pagitaj al la specifa tipo de okazaĵo. Tio estas ili studas ĉi tiu scienco. Rezulte de la sperto de io povas okazi aŭ ne. Krome, la testo senliman nombron da fojoj eblas realigitaj. Rimarkindaj ekzemploj inkludas:

• Toss la monero - ĝi estas sperto, aŭ provo, perdo de aglo - la evento.
• Tirante la pilko de la sako blinde - provo, estis kaptita ruĝan pilkon - tiu evento ktp.

Tiaj ekzemploj povas esti nelimigita nombro, sed, ĝenerale, estas esti komprenata. Resumi kaj sistematizar la akirita scio pri la okazaĵoj de tablo. teorio de probabloj studojn nur la lasta speco de ĉiuj prezentitaj.

leĝoj

Teorio de probabloj - la scienco kiu studas la eblon de perdo de ajna evento. Kiel la aliaj, ĝi havas iujn regulojn. La jenaj leĝoj de teorio de probabloj:

• La konverĝo de sekvencoj de hazardaj variabloj.
• La leĝo de grandaj nombroj.

Kiam kalkulanta la eblecon de kompleksa povas esti uzata kompleksa simplaj eventoj atingi rezultojn pli facila kaj pli rapida vojo. Ni notu, ke la leĝoj de teorio de probabloj estas facile pruvebla per la helpo de kelkaj el la teoremoj. Ni sugestas komenci akiri acquainted kun la unua leĝo.

La konverĝo de sekvencoj de hazardaj variabloj

Notu ke la konverĝo de pluraj tipoj:

• La vico de hazarda variablo konverĝo en probablo.
• Preskaŭ neebla.
• RMS konverĝo.
• Konverĝo en distribuo.

Do, en la muŝo, estas tre malfacile kompreni la esencon. Jen difinoj kiu helpos kompreni la temon. Por komenci la unuan rigardon. La sekvenco estas nomita konverĝo en probablo, se la sekvan kondiĉon: n proksimiĝas al malfinio, la nombro celis per la vico estas pli granda ol nulo kaj proksime al la unuo.

Iru al la sekva opinio, preskaŭ certe. Ili diras ke la vico konverĝas preskaŭ certe al hazarda variablo kun n strebanta al malfinio, kaj R, inklinante al valoro proksime al unueco.

La sekva tipo - convergencia de la RMS. Kiam uzanta la SC-lernanta konverĝo de vektoraj hazardaj procezoj reduktas al la studo de hazardaj koordinato procezoj.

Estis la lasta tipo, ni rigardu mallonge kaj iri rekte al la solvo de problemoj. Konverĝo en distribuo havas alian nomon - "malforta", do klarigu kial. Malforta konverĝo - estas la konverĝo de la distribuaj funkcioj ajn punktoj de kontinueco de la limo distribua funkcio.

Certiĝu teni la promeson, malforta konverĝo estas malsamaj de ĉiuj super, ke la hazarda variablo ne estas difinita en la probablospaco. Ĉi tio eblas ĉar la kondiĉo estas formata ekskluzive uzante distribuaj funkcioj.

La leĝo de grandaj nombroj

Granda helpanto en la pruvo de la leĝo estos teoremoj de teorio de probabloj, kiel:

• Ĉebiŝev Neegalaĵo.
• Ĉebiŝev teoremon.
• Ĝeneraligita Ĉebiŝev teoremon.
• Markova teoremo.

Se ni konsideras ĉiujn tiujn teoremojn, tiam la afero povas preni plurajn dekojn de folioj. Ni havas la ĉefan taskon - estas la apliko de teorio de probabloj praktike. Ni proponas al vi nun, kaj agu. Sed antaŭ ol ni konsideros la aksiomoj de probablo teorio, ili estas ŝlosilo partneroj en solvi problemojn.

aksiomoj

De la unua, ni vidis, al la raporti la neeblan okazaĵon. Ni memoru: la probablo de neebla okazaĵo estas nulo. Ekzemplo ni donis tre viglan kaj memorinda: la neĝo falis je aertemperaturo tridek gradoj Celsius.

La dua estas la jena: certa evento okazas kun probablo unueco. Nun ni montros kiel ĝi estas skribita kun la helpo de matematika lingvo: P (B) = 1.

Tria: Hazarda okazaĵo povas okazi aŭ ne, sed la ebleco estas ĉiam varias de nulo al unu. La pli proksima estas al unueco, la pli ŝancojn; Se la valoro estas proksima al nulo, la probablo estas tre malalta. Ni skribas tiun en matematika lingvo: 0

Konsideru la lasta, kvara aksiomo, tio estas: la sumo de la probablo de du eventoj estas egala al la sumo de iliaj probabloj. Skribi matematikaj esprimoj: P (A + B) = P (A) + P (B).

La aksiomoj de probablo teorion - ĝi estas simpla regulo, ke ne estos malfacile memori. Ni provu solvi iuj problemoj, surbaze jam akiris scion.

loterio bileton

Unue, konsideru la plej simpla ekzemplo - loterio. Imagu ke vi aĉetis loterio bileton por bonŝanco. Kio estas la probablo ke vi gajnos almenaŭ dudek rubloj? Tuta cirkulado estas implikita en mil biletoj, unu el kiuj havas premion de kvincent rubloj, dek cent rubloj, dudek kvindek rubloj, kaj cent - kvin. La tasko de la teorio de probablo bazita sur kiel trovi metodon sorton. Nun kune analizas la decido super la Taskoj vido.

Se ni signifi per Premio de kvincent rubloj, tiam la probablo de A estas egala al 0,001. Kiel ni akiras? Nur bezonas la numeron de "bonŝanca" biletoj dividita per la totala nombro (en ĉi tiu kazo: 1/1000).

En - superruzis cent rubloj, la probablo estos egala al 0.01. Nun ni agis same kiel la lasta ago (10/1000)

C - rekompenco estas dudek rubloj. Trovu la probablo, estas egala al 0.05.

La resto de la biletoj ni ne interesis, kiel ilia premio estas malpli ol precizigita en la kondiĉo. Apliki kvaran aksiomo: la probablo de gajni almenaŭ dudek rubloj estas P (A) + P (B) + P (C). La litero P signifas la probablo de origino de la evento, ni en la antaŭa paŝojn jam trovis ilin. Ĝi restas nur demeti la necesajn datumojn, la respondo ni atingos 0,061. Tiu nombro estos la respondo al la demando de laborpostenoj.

ferdeko de kartoj

Problemoj de teorio de probabloj, estas ankaŭ pli kompleksa, ekzemple, preni la sekva tasko. Antaŭ vi ferdeko de tridek ses kartoj. Via tasko - por desegni du kartojn en vico, sen miksi amaso, la unua kaj dua kartoj devas esti rostas, kostumoj ne gravas.

Por komenci, trovi la probablo ke la unua karto estas as, tiu dividi per kvar kaj tridek ses. Agordu ĝin flanken. Ni ricevas duan karton estas as kun la probablo de tricent tridek kvina. La probablo de la dua okazaĵo dependas de kiu karto ni tiris la unua, ni interesas, ĝi as aŭ ne. El tio sekvas, ke en la okazaĵo dependas de la evento A.

La sekva paŝo ni trovas la probablo de samtempaj efektivigo, kio estas, multobligi A kaj B. Ilia laboro estas kiel sekvas: la probablo de tiu okazaĵo multiplikita per la kondiĉa probablo de alia, ni kalkulas, supozante, ke la unua okazaĵo okazis, tio estas, la unua karto ni tiris as.

Por fari ĉiu estas klara, donu la designación kiel elemento kiel la kondiĉa probablo de la evento. Ĝi estas kalkulita per alprenanta ke okazaĵo A okazis. Ĝi estas kalkulita kiel sekvas: P (B / A).

Ni etendi la solvon de nia problemo: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) aŭ P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). La probablo estas _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) estas kalkulita per rondigo al la plej proksima centa Ni havas: .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} 0,11 * 0 , 82 = 0,09. la probablo ke ni desegni el du rostas en vico egalas naŭ centonoj. la valoro estas tre malgranda, ĝi sekvas ke la probablo de evento okazaĵo estas ege malalta.

forgesita ĉambro

Ni proponas fari iun pli ebloj de laborpostenoj kiu studas la teorion de la probablo. Ekzemploj de solvoj de kelkaj el tiuj kiujn vi vidis en ĉi tiu artikolo, provu solvi la sekva problemo: La knabo forgesis la telefonnumeron por la lasta cifero de lia amiko, sed ekde la alvoko estis tre gravaj, tiam komencis kolekti ĉiun laŭvice. Ni devas kalkuli la probablo ke li nomos ne pli ol tri fojojn. la plej simpla solvo de la problemo, se vi scias la regulojn, leĝojn kaj aksiomoj de probablo teorion.

Antaŭ vi vidas solvon, provu solvi sur ilia propra. Ni scias, ke ĉi-lasta figuro eble estas de nulo al naŭ, por totalo de dek valorojn. Probablo partituro postulata estas 1/10.

Sekva ni devas konsideri eblojn por la origino de la eventoj, ni supozas ke la knabo trafis kaj gajnis la rajton, la probablo de tiaj okazaĵoj egalas 1/10. La dua eblo: la unua alvoko slipo, kaj la dua celo. Ni kalkulas la probablo de tiaj okazaĵoj: 9/10 multiplikita de 1/9 en la fino ni akiras kiel 1/10. La tria eblo: la unua kaj dua voko montriĝis por la malĝusta adreso, nur la tria knabo estis kie volis. Kalkuli la probablo de tiaj okazaĵoj: 9/10 multiplikita de 8/9 kaj 1/8, ni ricevi rezulte de 1/10. Aliaj ebloj sur la kondiĉo de la problemo ni ne interesas, ĉi tiu restas por ni kuŝiĝis tiuj rezultoj, en la fino ni havas 3/10. Respondo: La probablo ke knabo vokus ne pli ol tri fojojn, egala al 0,3.

Kartoj kun nombroj

Antaŭ naŭ kartoj, ĉiu el kiuj estas skribita nombro de unu ĝis naŭ, la nombroj ne ripetas. Ili metis en skatolo kaj miksi ĝisfunde. Vi devas kalkuli la probablo ke la

• ruliĝis para nombro;
• du-ciferaj.

Antaŭ procedanta al la decido kondiĉas ke m - estas la nombro de sukcesaj kazoj, kaj n - estas la totala nombro de ebloj. Ni trovos la probablo, ke la nombro estas eĉ. Estas malfacile kalkuli ke eĉ nombroj de kvar, kaj tio estas nia m, ĉiuj naŭ eblaj ebloj, tio estas, m = 9. Tiam la probablo egalas 0.44 aŭ 4/9.

Ni konsideras la dua kazo, la nombro de variantoj de naŭ, kaj sukcesan rezulton povas esti entute, tio estas, m estas nul. La probablo, ke la plilongigita karto enhavos du-cifera nombro, kiel nulo.