Eŭklida kvina postulato: la vortigo

Oni kredas ke estis 10 000 jaroj, la unua homa civilizacio. Kompare kun la aĝo de nia planedo, kiu, laŭ sciencistoj, estas proksimume 4,54 milionoj jaroj, ĉi tiu estas nur mallonga momento. Pro tio "momento" la homaro faris grandegan salton de la primitivaj iloj de ŝtono por interplanedaj kosmoŝipo. Li ne eblus, se de tempo al tempo sur la planedo estus naskiĝinta geniulo, scienco moviĝas antaŭen. Inter ili, kompreneble, referencas Eŭklido. Liaj verkoj iĝis la fundamento kaj potencan impulson por la disvolviĝo de moderna matematiko.

Tiu artikolo temas pri la kvina postulato de Eŭklido kaj ĝia historio.

Kiel faris la geometrion

Ekde la intrigoj de lando estis la temo de vendo kaj lupago, ilia grandeco kaj la areo bezonata por esti mezurita, inkluzive de kalkuloj. Plie, tiaj kalkuloj fariĝis necesa en la konstruo de grandskala strukturoj, kaj ankaŭ mezuri la volumo de malsamaj aĵoj. Ĉio ĉi fariĝis antaŭkondiĉoj de 3-4 mil jaroj en Egiptio kaj Babilono arto agrimensura. Ĝi estis empirie kaj estas kolekto de kelkcent ekzemploj de solvanta specifajn problemojn, sen pruvoj.

Kiel sistema scienco de geometrio ellaborita en antikva Grekio. Jam la tria jarcento aK Estis granda provizo de faktoj kaj pruvoj metodoj. Tamen, leviĝis la problemo sufiĉe vasta por resumi la kolektita geometria materialo. Ŝi provis solvi Hipokrato Fedii kaj aliaj antikvaj grekaj filozofoj. Tamen, logike kontrolita scienca sistemo ekzistis nur ĉirkaŭ 300 jaroj antaŭ Kristo. e. kun la publikigado de la "Principia".

Kiu estis Eŭklido

Antikva Grekio donis la mondo multaj el la plej grandaj filozofoj kaj sciencistoj. Unu el ĉi tiuj estas de Eŭklido, kiu iĝis la fondinto de la aleksandrina lernejo de matematiko. Pri la sciencisto preskaŭ nenio scias. Iuj fontoj indikas ke la juna estonta patro de moderna geometrio studis en la fama lernejo de Platono en Ateno, kaj tiam revenis al Aleksandrio, kie li daŭre studis matematikon kaj optiko, kaj ankaŭ formi muzikon. En lia naskiĝ-urbo li fondis lernejon, kie, kune kun la studentoj kaj kreis sian faman verkon, kiu dum pli ol du mil jaroj estas la bazo por ajna lernolibro sur ebena geometrio kaj solida geometrio.

"Elementoj" de Eŭklido

La ĉefa kaj plej unua sistema laboro sur geometrio konsistas 13 volumoj. La unuaj kvar kaj la sesa libroj trakti ebena geometrio, kaj 11-a, 12-a kaj 13-a - solida geometrio. Koncerne la aliaj volumoj, ili estas dediĉita al la aritmetiko, kiu estas el la vidpunkto de geometria postulatoj.

La rolo de la ĉefa verko de Eŭklido en la posta disvolviĝo de matematikaj sciencoj ne estas sobreestimado. Recenta papiruso listoj pluraj el la originala, tiel kiel bizanca manuskriptojn.

En la mezepoko, "Elementoj" de Eŭklido estis studitaj ĉefe por la araboj, kiuj konsideras ilin unu el la plej grandaj verkoj de homa penso kaj la sciencisto de Damasko. Multe poste tiuj verkoj interesis la eŭropanoj. Kun la alveno de presado scienco, inkluzive de eŭklida geometrio ne plu konata nur al la elektitojn. Post la unua eldono en 1533. "Eroj" estas disponeblaj por ĉiuj, kiuj volas kompreni la mondon, kaj estas pli kaj pli ĉiujare. La postulo kreis provizo, do ĝi kredas ke ĉi tiu laboro estas la dua plej vaste legita inter la monumentoj de antikveco post la Biblio.

iuj trajtoj

La "Eroj" priskribas la metra propraĵoj de tridimensia, malplena, senlima kaj izotropa spaco, kiu estas kutime nomita eŭklida. Ĝi estas konsiderita esti areno kie estas fenomenoj de klasika fiziko de Galileo kaj Newton.

Elementa geometria objekto, laŭ Eŭklido, estas la punkto. La dua grava koncepto - la senfineco de spaco, kiu estas karakterizita per la unuaj tri postulatoj. La kvara koncernas la egaleco de ortoj. Koncerne al Eŭklida kvina postulato, tiam ĝi determinas la proprietojn kaj la geometrio de Eŭklida spaco.

Laŭ sciencistoj, klasika geometrio patro kreis perfektan lernolibro, la studo de kiuj ekskludi ajnan miskomprenon de la materialo pro la maniero lia prezento. Aparte, ĉiu volumo de la "Eroj" komenciĝas per la difino de la konceptoj renkontis por la unua fojo. Aparte, de la unuaj paĝoj de la 1-a libro la leganto lernas ke punkto, linio, rekta kaj tiel plu. Entute ĝi havas 23 difinoj postulas por la kompreno de la ĉefa dispozicioj de la materialo prezentita en tiu fundamenta laboro.

4 la unua aksiomo kaj postulan Eŭklido

Post aŭtoro de la "Eroj" proponas rezultojn kiuj estas akceptitaj sen pruvo. Tiuj ĝi dividas en aksiomoj kaj postulatoj. La unua grupo konsistas el 11 asertoj, ke la viro konata intuicie. Ekzemple, 8-a aksiomo, ke la tuto estas pli ol la parto, kaj laŭ la unuaj du kvantoj, krom egala al tri, egala al unu la alian.

Plue, 5 kaŭzas Eŭklido postula. La unuaj kvar legis la jenan:

• de ajna punkto al iu alia, Vi povas desegni rektan linion;
• de ajna centro de ĉiu radiuso eblas priskribi cirklo;
• limigita linio povas etendi kontinue laŭ rekta linio;
• bone anguloj estas egalaj.

Eŭklida kvina postulato

Por pli ol du jarmiloj, tiu aserto ripete iĝis la objekto de atento de matematikistoj. Sed unue, ni konatiĝi kun la enhavo de Eŭklido kvina postulato. Do, en la moderna formuliĝo ĝi sonas kvazaŭ en aviadilo ĉe la intersekciĝo de du rektaj unuflanka tria-sumo de la enaj anguloj de malpli ol 180 °, tiam ĉi tiuj linioj daŭrante malpli frue renkontas en tiu flanko, sur kiu ĉi tiu kvanto (kvanto) de malpli ol 180 °.

Eŭklida kvina postulato, kiu estas la vortigo en malsamaj fontoj malsamas de la komenco kaŭzis la sporto kaj volas ĝin traduki al la kategorio de teoremoj de konstruado sonon pruvo. Parenteze, ĝi estas ofte anstataŭita de alia esprimo, fakte, inventita malbenita kaj ankaŭ konata kiel la aksiomo de Playfair. Ĝi tekstas jene: sur ebeno tra punkto kiu ne apartenas al specifa linio povas teni unu kaj nur unu rektan linion paralele al ĉi tio.

lingvo

Kiel dirite, multaj sciencistoj provis malsamajn esprimi la ideon de la 5-a postulato de Eŭklido. Multaj formuliĝoj estas tre evidenta. Ekzemple:

• konverĝanta linioj sekci;
• ekzistas almenaŭ unu rektangulo, tio estas, 4-kvadrato kun kvar ortoj;
• ĉiu figuro povas esti proporcie kreskis;
• ekzistas triangulo havanta neniun, arbitre granda areo.

mankoj

Eŭklida geometrio estis la plej granda matematika verkoj de antikva tempo kaj ĝis la 19-a jarcento, ĝi reĝis senkontesta en matematiko. Malgraŭ tio, iuj de liaj difektoj estis notita eĉ per samtempuloj de la aŭtoro, kaj la antikva greka erudiciulo, kiu vivis iom poste. Aparte, ĝi aldonis nova Arkimedo aksiomo, nomita laŭ li. Ĝi diras tie estas entjero n, kiu estas n · [AB]> [KD] por ĉiuj segmentoj AB kaj KD.

Krome, sciencistoj serĉis minimumigi la sistemo de Eŭklida aksiomoj kaj postulatoj. Por fari tion, ili kaptis kelkajn el la ceteraj.

Tiel sukcesis "forigi" de la 4-a postulato de la egaleco de ortoj. Por li, rigora pruvo estis trovita, tial ĝi kopiis al la kategorio de teoremoj.

Historio 5 postulato en antikva tempo kaj la frua mezepoko

La klasika formuliĝo de tiu deklaro eŭklida geometrio ŝajnas multe malpli evidenta ol la aliaj kvar. Estas ĉi tiu fakto hantis matematikistojn.

La faletanta bloko por la kvina eŭklida postulato estis la difino de la paralelismo de la du linioj A kaj b, deklarante ke la sumo de la du unuflankaj anguloj kiuj estas formita de la intersekco de a kaj b tria rekta linio c, egala al 180 gradoj.

La unua provo por pruvi ĝin kiel teoremo estis farita de la antikva greka geometriisto Poseidonios. Li proponis konsideri rekta paralela al la ebena de la aro de ĉiuj punktoj kiuj estas egaldistanca de la originalo. Tamen, eĉ ĉi tiu ne permesis Poseidonios trovi pruvo 5a postulato.

Nek al neniu utilo kaj la provoj de aliaj matematikistoj, inkluzive de mezepokaj, kiel la araboj ibn Korra kaj Khayyam. La sola afero kiu estis atingita - la apero de novaj postulatoj, kiu povas esti pruvita surbaze diversaj supozoj.

En la 18-19-a jarcentoj

Klasika geometrio daŭre interesas matematiko kaj en la 18-a jarcento. Aparte, proksime sufiĉe por pruvi la a postulato atingis alproksimigi la franca matematikisto A. Legendre. Li skribis elstaran lernolibro "Elementoj de geometrio», kiu estas ĉirkaŭ 150 jaroj estis la ĉefa instrui matematikon en la Rusa Imperio lernejoj. En ĝi la sciencisto donis tri ebloj pruvi la Eŭklida paralelajn aksiomo, sed ili ĉiuj montriĝis malĝusta.

Komence de la 19a jarcento, la ideo de kreado de neeŭklida geometrio. La unua priskribo de la sistemo, sendepende de la kvina postulato, kondukis armea inĝeniero J. Bolyai. Sed li ektimis de sia malkovro kaj ne persekutis la ideon, kredante ĝin malĝusta. Sukceso ne povis atingi kaj la granda germana matematikisto Gauss.

trarompon

Dum pli ol 2000 jaroj de Eŭklido kvina postulato, la pruvo de kiuj provis trovi centojn da sciencistoj, restis la numero unu problemo en matematiko. Breakthrough faris rusa matematikisto NI Lobaĉevskij. Al tiu la monda unua sukcesis priskribi la ecojn de reala spaco, pruvante, ke eŭklida geometrio "laboras" nur en la aparta kazo de lia sistemo.

N. I. Lobaĉevskij komence malsupreniris la saman vojon kiel tiu de liaj kolegoj. Provanta pruvi la 5a postulato, li ne sukcesis. Poste la sciencisto rifuzis eŭklida reprezento, laŭ kiu la sumo de la anguloj de triangulo estas 180 gradoj. Tuj poste, ĝi provis pruvi tiun aserton per kontraŭdiro kaj akiris novan vortumon por la kvina postulato. Nun, li agnoskis la ekziston de pluraj linioj paralela al tiu, kiu trapasis punkton kuŝanta ekster tiu linio.

nova geometrio

Ĝi ne havas sentita por diskuti, kiu faris pli por matematiko. La rolo de Eŭklido kaj Lobaĉevskij komparebla influon en la formado kaj disvolviĝo de Newton kaj Einstein fiziko. Samtempe, la nova, absoluta geometrio eblas konsideri la nocion de spaco, perdi la klasikan metodon "povas kompreni nur tion, kio povas esti mezurita." Sed tia aliro praktikita en scienco por miloj da jaroj.

Bedaŭrinde, la ideoj de Lobachevskii geometrio ne estis akceptita kaj komprenita de liaj samtempuloj. Aparte, liaj studentoj ne daŭrigis la laboron de la sciencisto, kaj la evoluo de neeŭklida geometrio estis prokrastita dum pluraj jardekoj.

Iuj trajtoj de la Lobachevskii teorio

Kompreni la nova geometrio, estas necese konsideri la kosmajn senfineco. Efektive, estas malfacile imagi ke la vasteco de la universo estas la sumo de lineara spacoj.

Lobaĉevskij geometrio estas uzata por priskribi kurbigita spacoj kiuj estas kreitaj de la gravitaj kampoj de galaksioj. Ŝi permesis foriri de la metodo de la atento de ĉiuj figuroj al la "ĝusta" cilindro, cirklo, piramido, aŭ ajna kombino de tiuj formoj. Ĉar, ekzemple, en realo, nia planedo - ne pilko, kaj la geoid, kio estas, figuro kiu akiras contouring la ekstera konturo de la litosfero (malfacila ŝelo) de la Tero ...

En reala vivo, estas ankaŭ analogoj de kurbigita spacojn de la universo, kiu permesas enkonduki la eblecon de la ekzisto de pluraj paralelaj linioj de la forpaso tra la sama punkto. Specife, tiu surfaco kurbigas de la tri tipoj kiuj estas asignita itala geometriisto Beltrami kaj nomis E. pseudosphere.

Pluevoluigo de la teorio de Lobaĉevskij

Elstara rusa ne estis la sola, kiu ne supozis absoluteco de eŭklida geometrio. Aparte, la matematikisto Riemann en 1854 proponis la ideon de la eblo de la ekzisto de spacoj de nulo, pozitiva kaj negativa kurbeco. Tio signifis, ke vi povas krei senliman nombron de malsamaj ne-klasikaj geometrioj.

En Rimana pozicion, kiu studis ĉefe la spaco kun pozitiva kurbeco, la 5-a postulato de Eŭklido sonas tute neatendite. Laŭ liaj ideoj, tra punkto ekster specifa linio ne povas teni ajnan linion paralele al ĉi tio.

Tute malsama estas la kazo kun la nulo spacojn, negativa kaj pozitiva kurbeco de Klein teorio. Aparte, en la unua kazo ili estas priskribitaj per parabola geometrio, speciala kazo kiu estas la klasika, la dua - obei Lobachevskian ideoj, kaj la tria - konsekvenca kun la priskribitaj de Riemann.

Post la publikigado de Alberto Eynshteyna Teorio de Relativeco, la submetiĝo de tiaj spacoj kompletigi datumojn kiuj konsideras la ekziston de kvar interdependaj kaj ŝanĝante mezuradojn - pezo, forto, rapido kaj tempo.

praktike

Se vi iras al la homa percepto de spaco ene de la orbito de la Tero por gigantaj plej granda ebla triangulo de la ebla devio de la sumo de la enaj anguloj de 180 gradoj klasika make nur kvar millionths de sekundo. Tiu valoro estas preter la kapabloj de la homo sapiens, do "tera" postulo estas eŭklida geometrio.

Ĝi restas atendi ĝis kondiĉoj estas kreitaj kiuj permesas akiri eksperimentaj datumoj por konfirmi aŭ refutar la teorio de N. Lobaĉevskij kaj Riemann trans la galaksio.

Nun vi scias, ke deklaras Eŭklida kvina postulato kaj ĝia historio, kiu estas tre instrua, kaj nin permesas spuri la evoluado de la homa menso dum la lastaj 2300 jaroj.