Paradokso de Russell: baza informo, ekzemploj, formuliĝo

Russell paradokso estas du interdependaj logika antinomia.

Du formoj de Paradokso de Russell

La plej ofte diskutita formo de kontraŭdiro en logiko aroj. Kelkaj el la aro ŝajnas esti la membroj mem, kaj aliaj - ne. La aro de ĉiuj aroj estas sin aro, do ĝi ŝajnas, ke ĝi rilatas al si mem. Nula aŭ malplena, tamen, devus ne esti membro de sin. Sekve, la aro de ĉiuj aroj, kiel nulo ne estas inkluzivita en sin. La paradokso ekestas kiam la demando de ĉu la aro de membro de si. Ĉi tio eblas, se kaj nur se ĝi ne estas.

Alia formo paradokso estas kontraŭdiro rilate ecoj. Iuj ecoj, ŝajnas rilati al si mem, dum aliaj ne estas. La propraĵo esti la posedaĵo mem estas posedaĵo, dum la posedaĵo estu ĝi kato ne estas. Konsideru la propraĵo de havanta proprieto kiu ne apartenas al li. se ĝi validas por mem? Denove, ĉiu de la supozitaj estu la malo. La paradokso estis nomita honore al Bertrand Russell (1872-1970), kiu malkovris ĝin en 1901.

rakonto

Malfermo Russell okazis dum lia laboro en "Principoj de Matematiko". Kvankam li malkovris la paradokson sendepende, ekzistas indico ke aliaj matematikistoj kaj programistoj de aroteorio, kiel Ernst Zermelo kaj David Hilbert, estis konscia pri la unua versio de kontraŭdiroj antaŭ li. Russell, aliflanke, estis la unua, kiu diskutis detale la paradokso en liaj publikigitaj verkoj, unue provis formuli solvojn kaj la unua por plene aprezi lian signifon. Tuta ĉapitro de "Principoj" amegis diskuto de tiu temo, kaj la aplikaĵo estis dediĉita al la teorio de tipoj, kio Russell proponita kiel solvo.

Russell malkovris la "paradokso de la mensoganto", konsiderante Cantor aroteorio kiu diras ke la potenco de iu ajn aro estas pli malgranda ol la aro de lia subaroj. Almenaŭ en la domajno estu kiel multaj subaroj ĉar ekzistas elementoj en ĝi, se oni subaro de ĉiu elemento estas metita enhavante nur ĉi elemento. Plue, Cantor pruvis, ke la nombro de elementoj ne povas esti egala al la nombro de subaroj. Se estis la sama nombro, devus ekzisti ƒ trajto kiu montras elementojn sur iliaj subaroj. Samtempe ĝi povas esti pruvite ke ĉi tio estas neebla. Iuj aĵoj povas esti montrita sur la funkcio ƒ subaroj kiuj enhavas ilin, dum aliaj eble ne.

Konsideru la subaron de elementoj kiuj ne apartenas al iliaj bildoj, en kiuj ili montros ƒ. Ĝi estas sin subaro de elementoj, kaj sekve, ƒ funkcio estus montri ĝin sur ero en la domajno. La problemo estas ke tiam la demando, ĉu tiu elemento apartenas al la subaro al kiu ĝi montras ƒ. Ĉi tiu estas nur ebla se ĝi ne apartenas. Paradokso de Russell povas vidi kiel ekzemplon de la sama linio de rezonado, nur simpligita. Kio estas pli - la aroj aŭ subaroj de la aro? Ŝajnas, ke ne devus esti pli aroj, kiel ĉiuj subaroj de la aroj mem. Sed se Teoremo de Cantor estas vera, tiam tie devus esti pli subaroj. Russell konsiderata simple montri aroj sur sin kaj aplikata kantoriansky alproksimiĝo konsiderante la aro de ĉiuj tiuj elementoj, ekster aro en kiuj ili montras. Montras Russell iĝas la aro de ĉiuj aroj, ne.

eraro Frege

"La paradokso de la mensoganto» havis profundan trafon en la historia disvolviĝo de la teorio de aroj. Li montris, ke la koncepto de la universala aro estas tre problema. Li ankaŭ pridubis la ideon ke por ĉiu difinita kondiĉo aŭ predikato povas supozi la ekziston de pluralidad de nur tiuj aferoj kontentigi tiun kondiĉon. Opcio paradokso pri la ecoj - natura etendo al la versio aroj - levis seriozajn dubojn, ĉu eblas argumenti pri la objektiva ekzisto de posedaĵo aŭ universala konformeco al ĉiu difinita per la kondiĉo, aŭ predikato.

Baldaŭ la kontraŭdiroj kaj problemoj en la laboro de la logikistoj troviĝis, filozofoj kaj matematikistoj kiuj faris similajn supozojn. En 1902, Russell trovis ke varianto de la paradokso povas esti esprimitaj en logika sistemo, evoluigita en volumo I de Gottlob Frege la "Fundamentoj de aritmetiko", unu el la ĉefaj verkoj de la logiko de la malfrua jarcento - frua jarcento jarcento. En la filozofio de Frege da komprenita kiel "pligrandigo" aŭ "valoro atingo" koncepto. La konceptoj estas la plej proksimaj al tiuj de correlatos. Ili estas atenditaj ekzisti por ajna donita kondiĉo aŭ predikato. Tiel, ekzistas koncepto de aro, kiu ne falas sub ĝia difinanta koncepto. Ankaŭ ekzistas klaso difinita de ĉi tiu koncepto, kaj estas subjekto al difini lian koncepton nur se ĝi ne estas.

Russell skribis al Frege pri tiu konflikto, en junio 1902. Koresponda estis unu el la plej ekscita kaj parolis en la historio de logiko. Frege tuj rekonis la katastrofaj sekvoj de la paradokso. Li rimarkis, tamen, ke la versio de la disputo pri la ecoj en lia filozofio estis solvita de distingi inter la konceptoj de niveloj.

Frege nocio komprenita kiel la transiro de la argumentoj de la funkcio al VERA. La konceptoj unua nivelo prenante kiel argumentoj la objektoj de la dua nivelo konceptoj prenas kiel argumentoj por tiuj funkcioj, kaj tiel plu. Tiel, la koncepto neniam povas sin kiel argumento, kaj la paradokso en terminoj de la bienoj ne povas esti formulita. Tamen aroj, ekspansio aŭ konceptoj Frege komprenita kiel rilatante al la sama logika tipo kiel tiu de ĉiuj aliaj objektoj. Tiam por ĉiu aro estas demando ĉu ĝi falas sub la koncepto de difini ĝin.

Kiam Frege, Russell ricevis la unuan leteron, la dua volumo de "Fundamentoj de aritmetiko" estas jam finita presita. Li devis rapide prepari apliko kiu donas respondon al la paradokso de Russell. Ekzemploj Frege enhavis kelkajn eblajn solvojn. Sed li konkludis malfortigi la koncepto de abstracción eki logika sistemo.

En la originala, ĝi eblis konkludi, ke la objekto apartenas al la aro se kaj nur se ĝi falas ene de la koncepto, difinas ĝin. La reviziita sistemo povas nur konkludi, ke la objekto apartenas al la aro se kaj nur se ĝi falas ene de la koncepto de difini pluralidad, sed ne metita en demando. Paradokso de Russell ekestas.

La solvo, tamen, ne estas tute kontenta pri Frege. Kaj tio estis la kialo. Pluraj jaroj poste, pli kompleksa formo de la kontraŭdiro estis trovita por la reviziita sistemo. Sed eĉ antaŭ ol tio okazis, Frege forlasis sian decidoj kaj ŝajnas veni al la konkludo, ke lia aliro estis simple pro tro, kaj ke logiko devos malhavi iun el la aroj.

Ankoraŭ aliaj estis proponitaj, relative pli sukcesa alternativaj solvoj. Ĉi tiuj estas diskutita pli sube.

La teorio de tipoj

Estis notita supre ke Frege estis adekvata respondo al la paradoksoj de aroteorio en la versio formulita por ecoj. Frege respondo estis antaŭita de la plej ofte diskutis solvo al ĉi tiu formo de paradokso. Ĝi estas bazita sur la fakto ke la proprietoj estas submetitaj al malsamaj tipoj kaj kion tipo de proprieto neniam la sama kiel la erojn al kiu ĝi rilatas.

Tiel, eĉ la demando, ĉu la propraĵo estas aplikebla al sin. Logika lingvo, kiu disigas la elementojn de tia hierarkio, uzante la teorio de tipoj. Kvankam ĝi jam uzita de Frege, unuafoje ĝi estas plene klarigita kaj certigita Russell en la aneksas al la "principo". La teorio de tipoj estis pli kompleta ol la distingo de Frege niveloj. Ŝi dividis propraĵoj estas ne nur malsamaj specoj de logiko, sed ankaŭ agordi. tajpu teorio por solvi la kontraŭdiron en la paradokso de Russell sekvas.

Por esti filozofie adekvata, la adopto de la teorio de tipoj de proprietoj postulas la disvolviĝo de la teorio de la naturo de la proprietoj tiel ke povus klarigi kial ili ne povas esti aplikata al si mem. Al unua vido, ĝi havas sencon por pledas propra posedaĵo. La propraĵo de estante mem-identeco, ĝi similus, estas ankaŭ mem-identeco. La posedaĵo ŝajnas esti bela agrabla. Same, ŝajne, ŝajnas falsa diri, ke la proprieto de esti kato estas kato.

Tamen, pluraj pensuloj pravigis la divido de malsamaj tipoj. Russell eĉ donis malsamajn klarigojn en malsamaj tempoj en sia kariero. Liaflanke, la pravigo por la disiĝo de la malsamaj konceptoj de Frege niveloj venas de lia teorio de saturitaj konceptoj. Konceptoj kiel funkcio, en esenco, estas nekompleta. Provizi valoron, ili bezonas argumenton. Vi ne nur unu koncepton al pledas la koncepto de la sama tipo, ĉar ĝi ankoraŭ postulas lian argumenton. Ekzemple, kvankam ĝi eblas preni la kvadrata radiko de la kvadrata radiko de nombro, oni povas ne nur uzi kvadratan radikon funkcio al la kvadrata radiko funkcio kaj akiri rezulton.

Pri konservativismo ecoj

Alia ebla solvo estas la paradokso ecoj nego ecoj ekzisto sub iu difinita kondiĉojn, aŭ bone formita predikato. Kompreneble, se iu evitas metafizikaj ecoj de kaj objektivaj kaj sendependaj elementoj en lia aro, se oni prenas nominalismo paradokso povas esti evitita tute.

Tamen, por solvi la antinomia ne nepre estas tiel ekstrema. Logiko altan ordon sistemoj evoluigita Frege kaj Russell, enhavas kio estas nomita conceptual principo, laŭ kiu ĉiu malferma formuloj sendepende de kiel kompleksa ekzistas kiel parto de posedaĵo aŭ koncepto ekzemple, nur tiuj aĵoj kiuj kongruas la formulo. Ili aplikis al la atributoj de ĉiu ebla aro de kondiĉoj aŭ predikatoj, kiel ajn kompleksa ili estis.

Tamen, estis eble preni pli strikta metafiziko ecoj, donante la rajton al la objektiva ekzisto de simplaj ecoj, inkluzive de, ekzemple, kiel ekzemple ruĝa koloro, firmeco, bonkoreco, ktp. D. Vi povas eĉ lasi ĉi tiuj propraĵoj apliki al si mem, kiel ekzemple bonkoreco povas esti afabla.

Kaj la sama statuso por kompleksaj atributoj povas esti neita, ekzemple, tia "ecoj" kiel havanta dek sep-kapoj, esti-skribita sub-akvo kaj similaj. D. En tiu ĉi kazo, ne antaŭdeterminita kondiĉo ne plenumas la proprieto, komprenita kiel aparte ekzistanta elemento, kiu havas propran propraĵoj. Tiel povas nei la ekziston de simplaj ecoj esti-proprieto-kiu-ne-aplikita-al-mem kaj evitu paradokso aplikante pli konservativa metafizikaj ecoj.

Paradokso de Russell: la solvo

Super ĝi notis, ke en la fino de sia vivo Frege tute forlasis la logiko de aroj. Ĉi tio, kompreneble, unu solvo al la antinomio en la formo de aroj: simpla neo de la ekzisto de tiaj elementoj kiel tuto. Krome, estas aliaj popularaj elektoj, la fundamentojn de kiuj estas montritaj malsupre.

La teorio por multaj specoj de

Kiel menciis pli frue, Russell ludis por pli kompleta teorio de tipoj, kiuj dividas ne nur la propraĵoj aŭ konceptoj al malsamaj tipoj, sed ankaŭ agordi. Russell dividis stari sur la pluralidad de apartaj unuoj, pluralidad de aroj de apartaj objektoj, ktp La aroj de objektoj ne estis konsiderita, kaj pluralidad de aroj - .. Aroj. Multaj neniam ĝuis la tipo, permesas havi kiel membro de sin. Sekve ne ekzistas aro de ĉiuj aroj kiuj ne estas membroj de lia propra, ĉar por ajna aro de demandoj pri ĉu estas kiel membro, estas sin malobservo tipo. Denove, la afero ĉi tie estas por klarigi la metafiziko aroj klarigi la filozofiaj fundamentoj de la divido en tipoj.

tavoliĝo

En 1937, V. V. Kuayn proponis alternativan solvon, laŭ maniero simila al la teorio de tipoj. Bazaj informoj pri ĝi estas.

Disigante eraj aroj kaj aliaj. Farita por ke la supozo trovi pluralidad ĉiam estas malĝusta aŭ sensignifa. Aroj povas nur provizis al la difini ilian kondiĉoj ne estas malobservo tipo. Tiel, Quine, la esprimo "x ne estas membro de x" estas la signifoplenan deklaro ne implicas la ekziston de la aro de ĉiuj elementoj x kontentigante tiu kondiĉo.

En ĉi tiu sistemo aro ekzistas por iu malferma formulo A se kaj nur se ĝi estas estratificada, t. E. Se la variabloj estas asignita pozitivaj entjeroj tia ke por ĉiu karakteriza okazaĵo de pluralidad de antaŭira variablo estas asignita tasko unuo malgrandaj ol la variablo, sekvante lin. Ĉi blokas Paradokso de Russell, ĉar la formulo uzita por determini la problemo aro, estas la sama antaŭ kaj post la variablo membreco signo farante unstratified.

Sed ĝi havas ankoraŭ por determini ĉu la rezultanta sistemo, kiun Quine nomita "Nov Fundamentoj de matematika logiko" konsekvenca.

malakcepto

Tute malsama alproksimiĝo estas prenita en la teorio de Zermelo - Fraenkel (ZF). Ĉi tie, ankaŭ, fiksi limon al la ekzisto de aroj. Male, alproksimigi al la "top-down" de Russell kaj Frege, kiu komence pensis ke por ĉiuj konceptoj, bienoj, aŭ kondiĉoj povas sugesti la ekzisto de la aro de ĉiuj aĵoj kun ĉi tiu propraĵo aŭ renkonti tian kondiĉon, en ZF-teorio, ĉio komenciĝas "de malsupre supren."

Individua elementoj de la malplena aro kaj formi aron. Tial, male al pli fruaj sistemoj kaj Russell Frege FIT ne apartenas al la universala aro kiu inkludas ĉiujn elementojn kaj eĉ ĉiuj aroj. ZF difinas striktaj limoj sur la ekzisto de aroj. Povas ekzisti nur tiuj ankaux gxia klare postulato aŭ kiu povas esti formulita per ripeta procezoj kaj similaj. D.

Tiam, anstataŭ la koncepto abstraktado naiva aro kiu deklaras ke specifa elemento estas inkludita en la aro se kaj nur se ĝi renkontas la kondiĉojn en la apartiga principo uzata DF, disiĝo aŭ "ordigado". Anstataŭ supozante la ekzisto de la aro de ĉiuj elementoj kiuj estas sen escepto kontentigi certa kondiĉo, por ĉiu ekzistanta aro Aussonderung indikas la ekziston de subaro de ĉiuj eroj en la originala aro kiu kontentigas la kondiĉo.

Tiam venas abstraktado principo: se la aro A ekzistas do por ĉiuj x en A, x apartenas al la subaro A, kiu kontentigas la kondiĉon se kaj nur se x kontentigas la kondiĉon C. Tiu aliro solvas la paradokso de Russell, ĉar ni ne povas simple supozi tio estas, la aro de ĉiuj aroj kiuj ne estas membroj de ili mem.

Havante multajn arojn, vi povas elekti aŭ dividi ĝin en aroj, kiuj estas en si mem, kaj tiujn, kiuj ne estas tiaj, sed ĉar ne ekzistas universala aro ni ne ligita aro de ĉiuj aroj. Sen supozi la problemo aroj Russell kontraŭdiro ne estas pruvita.

aliaj solvoj

Krome, estis postaj etendoj aŭ modifojn de ĉi tiuj solvoj, kiel ekzemple forko-tipo teorio de "Principoj de Matematiko" sistemo vastiĝo "matematika logiko" Quine, kaj ankaŭ pli lastatempaj evoluoj en la teorio de aroj, farita Bernays, Gödel kaj von Neumann. La demando de ĉu la respondo al la nesolvebla paradokso Bertrand Russell trovis, estas ankoraŭ afero de debato.