Reala nombroj kaj liaj proprietoj

Pitagoro asertis, ke la nombro estas la komenco de la mondo al la paro kun la ĉefaj elementoj. Platono kredis, ke la nombro de ligoj la fenomeno kaj la noumenon, helpante scii, esti pesis kaj eltiri konkludojn. Aritmetiko venas de la vorto "arifmos" - la nombro, la elirpunkto en matematiko. Eblas priskribi ajnan celon - de elementa apple abstraktaj spacoj.

Bezonas kiel disvolviĝo faktoro

En la komencaj etapoj de evoluo de la socio la bezonojn de homoj premata per la bezono konservi poentaron - .. Unu sako da greno, du greno sako, ktp Por fari tion, ĝi estis naturaj nombroj, la aro de kio estas malfinia vico de pozitivaj entjeroj N.

Poste, la disvolviĝo de la matematiko kiel scienco, necesis en la specifa kampo de entjeroj Z - ĝi inkludas negativajn valorojn kaj nulo. Lia apero en la hejma nivelo, estis provokita de la fakto ke la komenca librotenado devis iel ripari la ŝuldojn kaj perdoj. La scienca nivelo, negativaj nombroj ebligis solvi simpla lineara ekvacioj. Interalie, ĝi nun eblas bildo bagatela koordinatoj, te. A. Estis punkto de referenco.

La sekva paŝo estis la bezono por eniri frakciaj nombroj, ĉar la scienco ne starigxu, pli kaj pli da novaj malkovroj postulis teorian bazon por nova puŝo kreskon. Tiel farigxis kampo de racionalaj nombroj Q.

Fine, ne plu renkonti la postulojn de racionalidad, ĉar ĉiuj novaj trovoj postulas pravigon. Estis kampo de reelaj nombroj R, la verkoj de Eŭklido incommensurability de certaj kvantoj pro sia malracieco. Tio estas, la antikva greka matematikisto poziciigita ne nur numeron kiel konstanta, sed kiel abstrakta valoro kiu estas karakterizita per la rilatumo de inconmensurables grandoj. Pro la fakto ke ekzistas reala nombroj, "ni vidis la lumon" valoroj kiel "pi" kaj "e", sen kiu moderna matematiko povis esti okazita.

La fina novigado estis kompleksa nombro C. Ĝi respondis serion de demandoj kaj refutis antaŭe eniris postulatoj. Pro la rapida evoluo de algebro rezulto estis antaŭvideblaj - kun reelaj nombroj, la decido de multaj problemoj ne eblis. Ekzemple, danke al la kompleksaj nombroj elstaris teorio de kordoj kaj kaoso vastigita ekvacioj de hidrodinámica.

Agordu Teorio. kantoro

La koncepto de senfineco ĉiam kaŭzis diskutadon, ĉar estis neeble pruvi aŭ malpruvi. En la kunteksto de matematiko, kiu estas operaciita strikte kontrolita postulatoj, ĝi manifestis plej evidente, ju pli, ke la teologiaj aspekto ankoraŭ pesis en la scienco.

Tamen, tra la laboro de matematikisto Georg Cantor ĉiuj tempoj falis en lokon. Ĝi pruvis ke la malfiniaj aroj estas malfinia aro, kaj ke la kampo R estas pli granda ol la kampo N, lasu ilin ambaŭ kaj senfina. Meze de la jarcento jarcento, liaj ideoj publike alvokis sensencaĵo kaj krimo kontraŭ klasika neŝanĝeblaj kanonojn, sed la tempo metos ĉion en ĝia loko.

Bazaj proprietoj de la kampo R

Aktuala nombroj ne nur havas la samaj ecoj kiel la podmozhestva kiu inkludas, sed estas kompletigita per aliaj masshabnosti pro ĝia elementojn:

• Nulo R. ekzistas kaj apartenas al la kampo c + = c 0 por ajna c de R.
• Nulo ekzistas kaj apartenas al la kampo R. c x 0 = 0 por ĉiu c de R.
• La rilatumo c: d kiam d ≠ 0 ekzistas kaj estas valida por ĉiu c, d de R.
• Kampo R ordonis, tio estas: se c ≤ d, d ≤ c, tiam c = d por ajna c, d de R.
• Krome en kampo R estas komuta, tio estas: c + d = d + c, por ajna c, d de R.
• Multipliko en kampo R estas komuta, tio estas: x c x d = d c por ĉiu c, d de R.
• Krome en kampo R estas asocieca tio estas: (c + d) + f = c + (d + F) por ajna c, d, f de R.
• Multipliko en kampo R estas asocieca tio estas: (c x d) x f = c x (d x F) por ajna c, d, f de R.
• Por ĉiu nombro de kampo R kontraŭa al ĝi tie, tia, ke c + (-c) = 0, kie c, c de R.
• Por ĉiu nombro de kampo R ekzistas ĝia inverso, tia ke c x c ^-1 = 1 kie c, c ^-1 de R.
• Unuo ekzistas kaj apartenas al R, tiel ke la c x 1 = c, por ajna c de R.
• Ĝi havas la povon leĝo distribuo, tiel ke c x (d + F) = c x d + c x f, por ajna c, d, f de R.
• La R kampo estas nulo estas ne egala al unueco.
• Kampo R estas transitiva: se c ≤ d, d ≤ f, tiam c ≤ f por ĉiu c, d, f de R.
• En la R kaj krom celo estas interkonektitaj: se c ≤ d, tiam c + f ≤ d + f por ĉiu c, d, f de R.
• En la ordo de R kaj multipliko ligitaj: se 0 ≤ c, 0 ≤ d, tiam 0 ≤ c x d por ajna c, d de R.
• Kiel negativa kaj pozitiva reelaj nombroj estas kontinua, tio estas: pro iu c, d de R f, tie ekzistas de R, ke c ≤ f ≤ d.

Modulo kampo R

La reelaj nombroj inkluzivas tiaĵon kiel modulo. Designó kiel la | f | por ajna f en R. | f | = F, se 0 ≤ f kaj | f | = -f, se 0> f. Se ni konsideras la modulo kiel geometria valoro, estas distanco - ne gravas, "pasis" vin kiel nulo en la negativa al la pozitivaj aŭ antaŭen.

Kompleksaj kaj realaj nombroj. Kiuj estas la similecoj kaj diferencoj?

De kaj granda, kompleksa kaj reala nombroj - ili estas unu kaj la sama, krom ke la unua aliĝis la imaginara unuo i, la kvadrato de kiu estas egala al -1. Eroj kampoj R kaj C povas esti prezentita per la sekva formulo:

• c = d + f x mi kaj kiun d, f apartenas al la kampo R, kaj mi - imaginara unuo.

Por ricevi la c de R f en ĉi tiu kazo simple supozis esti nulo, tio estas, ekzistas nur la reala parto de la nombro. Ĉar la kampo de kompleksaj nombroj havas la saman funkcion starigis kiel la kampo de reala, f x mi = 0 se f = 0.

Koncerne praktikajn diferencojn, ekzemple en la kampo R kvadrata ekvacio ne povas esti solvita se la diskriminanto estas negativa, dum la C skatolo ne trudas ĉi limigo enkondukante la imaginara unuo i.

rezultoj

"Brikoj" de aksiomoj kaj postulatoj sur kiu al bazo matematiko, ne ŝanĝi. En kelkaj el ili pro la kresko de informoj kaj la enkonduko de novaj teorioj metitaj al la sekva "brikoj", kiu en la estonteco povus fariĝi la bazo por la sekva paŝo. Ekzemple, natura nombro, malgraŭ la fakto ke ili estas subaro de la reala kampo R, ne perdas sian gravecon. Estas al ili la bazon de ĉiuj rudimenta aritmetiko, kiu komenciĝas per la scio de viro de paco.

De praktika vidpunkto, la veraj nombroj aspektas kiel rekta linio. Eblas elekti direkton, por identigi la originon kaj tonalto. Rekta konsistas senfina nombro da punktoj, ĉiu el kiuj respondas al sola reala nombro, sendepende de ĉu aŭ ne racia. El la priskribo estas klare, ke ni parolas pri la koncepto, kiu baziĝas matematiko ĝenerale, kaj matematika analizo aparte.