Kompleksaj nombroj. Valoro kaj Evoluo "imagaj valoroj"

La nombroj - la bazaj matematikaj objektoj necesaj por diversaj kalkuloj kaj kalkuloj. La aro de naturaj, entjero, racia kaj neracia diĝita valoroj difinas pluralidad de tiel nomata reala nombroj. Sed estas ankaŭ sufiĉe nekutima kategorio - kompleksaj nombroj difinita de René Forĵetas kiel "imagaj kvantoj." Kaj unu el la ĉefaj matematikistoj de la dek-oka jarcento Leonhard Euler proponita por designar al ili la literon i de la franca vorto imaginare (imaga). Kio estas la kompleksaj nombroj?

Tiel nomata esprimoj de la formo a + bi, kie a kaj b estas reelaj nombroj, kaj i estas cifereca indikilo de speciala valoro kies kvadrato estas -1. Operacioj sur kompleksaj nombroj estas interpretita de la sama normo de la diversaj matematikaj operacioj sur polinomoj. Tiu matematika kategorio ne reprezentas la rezultojn de ajna mezuradojn aŭ kalkuloj. Ĉar tio estas tute sufiĉa reala nombroj. Kial, do, ĉu oni bezonas?

Kompleksaj nombroj kiel matematika koncepto, necesaj pro la fakto ke kelkaj ekvacioj kun reelaj koeficientoj havas solvojn en la kampo de la "ordinara" nombroj. Tial, por pligrandigi la medio de solvi malegalecoj ŝprucis la neceson enkonduki novajn matematika kategorioj. Kompleksaj nombroj havi ĉefe teoriaj abstrakta Ĉu eblas solvi tiujn ekvaciojn kiel ² x 1 = 0. Ĝi estas konata ke, malgraŭ lia ŝajna formalidad kategorio nombroj aktive kaj vaste uzata, ekz-e, por diversaj praktikaj solvoj problemoj de elasteco teorio, elektrotekniko, aerodinámica kaj hydromechanics, atoma fiziko kaj aliaj sciencaj disciplinoj.

Modulo kaj argumento de kompleksa nombro uzita en la konstruo horaroj. Ĉi tiu formo de skribo nomita trigonometriaj. Krome, la geometria interpretado de ĉi tiuj nombroj estas pli vastigita la medio de lia apliko. Iĝis eblas uzi ilin por vario komputi mapo.

Matematiko venis longan vojon de la simplaj naturaj nombroj al kompleksaj integritaj sistemoj kaj iliaj funkcioj. Pri tiu temo povas skribi apartan lernilo. Ĉi tie ni rigardu nur iuj de la evolua aspektoj de nombroteorio, klarigi ĉiujn historiajn kaj sciencajn fono pravigo de ĉi tiu matematika kategorio.

Greka matematikisto konsiderita "vera" nur naturaj nombroj, kiu povas esti uzata por kalkuli ion. Jam en la dua jarmilo aK. e. la antikvaj egiptoj kaj babilonanoj en diversaj praktikaj kalkuloj aktive uzata frakcioj. La sekva grava mejloŝtono en la evoluo de matematiko estis la apero de negativaj nombroj en antikvaj Ĉinio ducent jaroj antaŭ nia epoko. Ili estis ankaŭ uzita de la antikva greka matematikisto Diofanto, kiu konis la regulojn de simpla operacioj sur ili. Kun la helpo de negativaj nombroj, ĝi fariĝis ebla por priskribi la diversajn ŝanĝojn en valoroj, ne nur en la pozitiva aviadilon.

En la sepa jarcento, ĝi estis klare establita ke la kvadrata radiko de pozitiva nombro ĉiam havas du valorojn - aldone al pozitivaj, ankaŭ negativaj. De la lasta ĉerpi la kvadrata radiko de la kutima algebra metodoj de tiu tempo oni kredis neebla: ne ekzistas tia valoro de x por x ² = ─ 9. Dum longa tempo ĝi ne gravis. Estis nur en la deksesa jarcento, kiam ekzistis kaj estis aktive studis kubaj ekvacioj, la neceso ekstrakti la kvadrata radiko de negativa nombro, kiel en la formulo por la solvo de tiuj esprimoj enhavas ne nur la kubo, Sed ankaŭ la kvadrataj radikoj.

Tiu formulo estas fortika, se la ekvacio havas maksimume unu reala radiko. En la kazo de la ĉeesto en la ekvacio de tri realaj radikoj por ilia kuraco akiris kun la nombro de negativaj valoro. Montriĝas, ke la vojo al reakiro kuras tra la tri radikoj de la neeblan de la vidpunkto de matematiko de la operacio tempo.

Por ekspliko de la rezultanta paradokso itala algebraists J. Cardano estis proponita enkonduki novan kategorion de la nekutima naturo de la nombroj, kiu nomiĝas kompleksa. Mi scivolas kion li Cardano konsiderita ilin senutilaj kaj faris ĉion por eviti apliki ilin al la proponita matematika kategorioj. Sed jam en 1572 libron aperis alia itala algebristo Bombelli, kiuj estis detalajn regulojn de operacioj sur kompleksaj nombroj.

Dum la dek-sepa jarcento daŭrigis la diskuto de la matematika naturo de la datumoj nombrojn kaj kapabloj de siaj geometria lego. Ankaŭ grade disvolvita kaj plibonigita tekniko de labori kun ili. Kaj en la fino de la 17-a kaj 18-a jarcentoj, la ĝenerala teorio de kompleksaj nombroj estis kreita. Enorma kontribuo al la disvolviĝo kaj plibonigo de la teorio de funkcioj de kompleksaj variabloj estis prezentita rusa kaj sovetia sciencistoj. N. I. Muskhelishvili engaĝita en lia apliko al la problemoj de la teorio de elasteco, Keldysh kaj Lavrentiev kompleksaj nombroj estis uzita en la kampo de hydro- kaj aerodinámica, kaj Vladimir Bogolyubov - en kvantuma kampa teorio.