Serio de Fourier: la historio kaj influo de la matematika mekanismo por la disvolviĝo de la scienco

Serio de Fourier - tiu vidpunkto arbitre elektita funkciojn al la periodo en vico. En ĝeneralaj terminoj, ĉi tiu solvo estas nomita la vastiĝo elemento sur perpendikulara bazo. La vastiĝo de funkcioj en Fourier serio estas sufiĉe potenca ilo por solvi diversajn problemojn pro la ecoj de la transformo en la integriĝo, diferencigo, kaj ankaŭ ŝanĝo en la argumento esprimo kaj rulumo.

Persono kiu ne konas pli alta matematiko, tiel kiel kun la verkoj de la franca sciencisto Fourier, plej verŝajne ne komprenos kion la "vicoj" kaj kion ili faras. Tamen tiu transformo estas tre firme eniris nian vivon. Ĝi estas uzata ne nur matematiko, sed ankaŭ fizikistoj, kemiistoj, kuracistoj, astronomoj, seismologists, oceanógrafos kaj aliaj. Ni ankaŭ prenas pli proksiman rigardon kun la verkoj de la grandaj francaj sciencisto kiu faris la malkovron, antaŭ lia tempo.

La viro kaj la konverto de Fourier

Serio de Fourier estas unu el la metodoj (kune kun analizo kaj aliaj) de la Konverto de Fourier. Tiu procezo okazas ĉiufoje persono aŭdas neniun sonon. Nia orelo aŭtomate konvertas la sono ondo. Oscillatory movado de elementaj partikloj en elasta medio estas vastigita en la serio (la spektro) sinsekvaj volumo valoroj por tonoj de malsamaj altecoj. Tuj poste, la cerbo konvertas ĉi datumojn en familiara sonojn por ni. Ĉio ĉi estas krom nia deziro aŭ konscion mem, sed por kompreni la procezojn kiuj prenas plurajn jarojn por studi pli alta matematiko.

Legu pli pri la Konverto de Fourier

La Konverto de Fourier povas esti efektivigita analítico, numeraloj kaj aliaj metodoj. Serio de Fourier estas numeralo procezo por putrado ajna _oscillatory_ procezoj - de la oceano tajdoj kaj ondoj de lumo al sunaj cikloj (kaj aliaj astronomiaj objektoj) agado. Uzante ĉi tiuj matematikaj teknikoj, eblas malmunti la funkcio, reprezentas ajnan _oscillatory_ procezoj en kelkaj sinusoidal komponantojn kiuj iras de minimuma al maksimumo kaj inverse. La Konverto de Fourier estas funkcio kiu priskribas la fazo kaj amplekso de _sinusoids_ responda al specifa frekvenco. Tiu procezo povas esti uzata por solvi tre kompleksaj ekvacioj kiuj priskribas la dinamikaj procezoj okazantaj sub la ago de varmo, lumo aŭ elektra energio. Ankaŭ, la Serio de Fourier uzita por distingi PK komponantojn en kompleksaj formoj de ondo, farante ebla interpreti ĝuste la eksperimenta observoj en medicino, kemio kaj astronomio.

historiaj informoj

La patro fondinto de ĉi tiu teorio estas la franca matematikisto Zhan Batist Zhozef Fure. Lia nomo poste kaj tiu transformo estis nomita. Komence, la sciencistoj uzis teknikon por studi kaj klarigi la mekanismojn de conductividad termika - varmego disvastigo en solidoj. Fourier proponis, ke la komencan malregula dissendo de la termika ondo povas esti malkomponita enen simpla _sinusoid_, ĉiu el kiuj havos lian temperaturon minimumo kaj maksimumo, kaj ankaŭ ĝia fazo. Tiel ĉiu tia komponanto esti mezurita de minimuma al maksimumo kaj inverse. La matematika funkcio kiu priskribas la supra kaj malsupra pintoj de la kurbo, kaj ankaŭ la fazo de ĉiu harmonia, nomita la konverto de Fourier de la temperaturo disdonado de esprimo. La aŭtoro de la teorio de reduktita totala distribua funkcio kiu estas malfacile matematika priskribo, ĝis tre facila pritrakti kelkajn el perioda funkcioj de sinuso kaj kosinuso, en la kvanto de doni la komenca divido.

La principo de konvertiĝo kaj la vidoj de samtempuloj

Samtempuloj de la sciencisto - la famaj matematikistoj de la frua deknaŭa jarcento - ne akceptis tiun teorion. La ĉefa obĵeto estis la aprobo de Fourier ke la malkontinua funkcio priskribanta rekta linio aŭ kurbo ŝiras, ĝi povas esti prezentita kiel sumo de sinusaj esprimoj kiuj estas kontinuaj. Kiel ekzemplo, konsideru la "paŝo" hevisida: ĝia valoro estas nulo por la maldekstra de la breĉo kaj unu dekstre. Tiu funkcio priskribas la dependecon de elektra kurento en la tempo variablo por la fermo ĉeno. Nuntempa teorio tiutempe, neniam renkontis tian situacion, kiam malkontinua esprimo devus priskribi kombinaĵo de kontinua, komunaj funkcioj, kiel ekzemple eksponenciala, sinuso, lineara aŭ kvadrata.

Kio ĝenis la francaj matematikistoj en la teorio de Fourier?

Ja se matematikisto pravis argumenti do sumigado malfinia trigonometriaj Serio de Fourier, ĝi eblas akiri preciza reprezento de la paŝo de esprimo, eĉ se ĝi havas aron de similaj paŝoj. En la frua deknaŭa jarcento, ĉi tiu aserto ŝajnis absurda. Sed spite ĉiujn dubojn, multaj matematikistoj vastigis la amplekson de la studo de ĉi tiu fenomeno, movante ĝin preter la termikaj alkonduko studoj. Tamen, plej sciencistoj daŭre suferas la demando: "Ĉu la sumo de la sinusa ondo serio konverĝas al la ĝusta valoro de malkontinua funkcio?"

Konverĝo de Fourier: ekzemplo

La temo de konverĝo leviĝas ĉiufoje kiam vi bezonas la sumado de malfinia serio de nombroj. konsideri klasika ekzemplo por la kompreno de tiu fenomeno. Ĉu vi povas ĉiam atingi la muro, se ĉiu paŝo estas duono la antaŭa? Supozi vi du metroj de la celo, la unua paŝo pli proksima al ĉirkaŭ duonvoje, la sekva - la markon de tri-kvaronojn, kaj post la kvina, vi venkis preskaŭ 97 procentoj de la vojo. Tamen, ne gravas kiom da paŝoj vi faris nek, la intencita celo vi atingas en strikta matematika senco. Uzante nombra kalkuloj, ni povas pruvi, ke fine eble pli proksima al arbitre malgranda donita distanco. Tio estas ekvivalenta al pruvon montrante, ke la tuta valoro de unu duono, unu kvara, kaj tiel plu. E. Ĉu emas unueco.

La temo de konverĝo: la dua alveno, aŭ instrumento de Lord Kelvin

Ripete la demando levigxis en la malfrua deknaŭa jarcento, kiam la Serio de Fourier provis uzi por antaŭdiri la intensecon de la Ebbs kaj fluojn. Tiutempe, Lord Kelvin estis inventita aparato estas analoga komputilo kiu permesis maristoj mararmeo kaj komercan floton monitoro estas natura fenomeno. Tiu mekanismo difinita aro de fazoj kaj ampleksoj de la tablo alteco de la tajdoj kaj la responda tempo momentoj, zorge mezuris en la haveno dum la jaro. Ĉiu parametro estas sinusa komponanto esprimo tajdo altecoj kaj estis unu el la regulaj komponantojn. La mezurado rezultoj estas enigo al la komputika aparato Lord Kelvin, sintezante kurbo kiu antaŭdiris alteco de la akvo kiel funkcio de la sekva jaro. Tre baldaŭ, tiuj kurboj estis tiritaj supren por ĉiuj havenoj de la mondo.

Se la procezo estos rompita malkontinua funkcio?

Tiutempe, ŝajnis evidente, ke la aparato antaŭdirante cunamo, kun multaj elementoj de la konto povas kalkuli grandan nombron da fazoj kaj ampleksoj, kaj tiel provizi pli preciza antaŭdiro. Tamen, evidentiĝis, ke tiu modelo ne estas observita en kazoj kie la tajda esprimo kiuj estos sintezita, enhavis akran salti, tio estas, estas malkontinua. En la okazaĵo ke la aparato por eniri datumoj de tablo de tempo punktoj, kalkulas kelkajn Fourier koeficientoj. Rekuperante la originala funkcio pro la sinusa komponanto (laŭ la trovitaj koeficientoj). La diferenco inter la originala kaj la rekonstruita esprimo povas esti mezurita en iu punkto. Kiam la ripeto kalkuloj kaj komparoj povas vidi, ke la valoro de la plej granda eraro ne reduktas. Tamen, ili estas lokalizitaj en la regiono respondas al la punkto de rompo, kaj ĉiu alia punkto emas nulo. En 1899, ĉi tiu rezulto estis konfirmita teorie Josuo Willard Gibbs de Yale University.

Konverĝo de Fourier serio kaj la evoluo de matematiko kiel tuto

Analitiko de Fourier ne aplikeblas al esprimoj enhavantaj senfina nombro da eksplodoj ĉe certa intervalo. Ĝenerale Serio de Fourier, se la origina funkcio estas reprezentita de la rezulto de la reala fizika mezuradojn, ĉiam konverĝas. Demandoj de konverĝo de tiu procezo por specifaj klasoj de funkcioj kiuj kondukis al novaj branĉoj de matematiko, kiel ekzemple la teorio de ĝeneraligitaj funkcioj. Ĝi estas asociita kun nomoj kiel ekzemple Schwartz, J .. Mikusiński kaj J. Templo. Sub tiu teorio, klara kaj preciza teoria bazo por tia esprimo estis establita kiel la diraka delta funkcio (ĝi priskribas la regionon de ununura areo, koncentrita en infinitezima najbareco de la punkto) kaj "paŝo" Heaviside. Tra ĉi tiu verko Fourier serio iĝis aplikebla por solvi ekvacioj kaj problemoj, kiujn implicas intuicia konceptoj: punkto arangxojn punkto maso, dipolos magnetaj, kaj la koncentrita ŝarĝo sur la trabo.

Fourier metodo

Serio de Fourier, laŭ la principoj de enmiksiĝo, komenci la descomposición de kompleksaj formoj en simpla. Ekzemple, ŝanĝo en varmo fluo pro lia paŝo por la diversaj baroj de la varmego izola materialo de malregula formo aŭ ŝanĝanta grundo surfaco - tertremo, ŝanĝo en la orbito de la ĉiela korpo - la influo de la planedoj. Tipe, ĉi tiuj ekvacioj priskribas simplajn klasika sistemo elementa solvita por ĉiu individua ondolongo. Fourier montris, ke simplaj solvoj povas resumi kiel por pli kompleksaj taskoj. En la lingvo de matematiko, Serio de Fourier - metodiko por la submetiĝo de esprimo sumo de harmona - kosinuso kaj sine ondoj. Sekve, ĉi tiu analizo estas konata ankaŭ sub la nomo "analizo armónico".

Serio de Fourier - ideala metodo por la "komputila epoko"

Antaŭ la kreo de komputila teknologio Fourier metodo estas la plej bona armilo en la arsenalo de sciencistoj laboras kun la ondo naturo de nia mondo. Serio de Fourier en kompleksa formo permesas vin ne nur solvi simplajn problemojn, kiuj estas cedema al direkti aplikado de Leĝoj de Newton pri mekaniko, sed ankaŭ la fundamentan ekvacioj. La plej multaj el la malkovroj de Newton-scienco de la deknaŭa jarcento iĝis ebla nur pro la Fourier metodo.

Serio de Fourier hodiaŭ

Kun la disvolviĝo de konverto de Fourier komputiloj kreskis al nova nivelo. Tiu tekniko estas firme enradikiĝinta en preskaŭ ĉiuj kampoj de scienco kaj teknologio. Kiel ekzemplo, cifereca audio kaj video. Lia implementación estas farita eblan nur danke al la evoluinta teorio por la franca matematikisto de la frua deknaŭa jarcento. Tiel, la Serio de Fourier en kompleksa formo permesis fari antaŭas en la studon de la ekstera spaco. Krome, ĝi afekciis la studo de la fiziko de semiconductores materialoj kaj plasmo, mikroonda akustiko, oceanografio, radaro, sismologio.

Trigonometriaj Serio de Fourier

En matematiko, Serio de Fourier estas maniero reprezenti arbitran kompleksaj funkcioj kiel sumo de pli simpla. Ĝenerale kazoj, la nombro de esprimoj povas esti senfina. La pli granda la nombro kalkulis en la ŝtono, des pli preciza la fina rezulto estas akirita. La plej komuna uzo de simplaj trigonometriaj kosinuso aŭ sinuso funkcio. En ĉi tiu kazo, la Serio de Fourier estas nomata trigonometriaj kaj la decido de tiaj esprimoj - harmona descomposición. Tiu metodo ludas gravan rolon en matematiko. Unue, la trigonometriaj serioj provizas rimedon por la bildo, kaj ankaŭ la studo de funkcioj, estas la ĉefa unuo de la teorio. Krome, ĝi permesas al ni por solvi kelkajn problemojn en matematika fiziko. Fine, ĉi tiu teorio kontribuis al la evoluo de matematika analizo, ĝi kaŭzis kelkajn tre gravajn branĉojn de matematika scienco (teorio de integraloj, la teorio de periodaj funkcioj). Krome, la elirpunkto por la evoluo de la sekvaj teorioj: aroj, funkcioj de reela variablo, funkcionala analitiko, kaj ankaŭ starigis fundamenton por analizo armónico.