Bulea algebro. algebro de logiko. Eroj de matematika logiko

En la hodiaŭa mondo ni estas pli kaj pli uzas diversajn maŝinojn kaj gadgets. Kaj ne nur kiam estas necese apliki laŭvorte superhoman forton: movi la ŝarĝon levi ĝin al la alteco, fosi longan kaj profundan tranĉeon, ktp Aŭtoj hodiaŭ kolekti robotoj, manĝaĵo estas kuirita Multivarki kaj elementa aritmetiko kalkuloj produktos kalkuliloj ... Pli kaj pli ofte ni aŭdas la frazon "Bulea algebro". Eble la tempo venis por kompreni la rolon de homoj en la kreo de robotoj kaj maŝinoj la kapablon por solvi ne nur matematika, sed ankaŭ logike problemoj.

logiko

En greka logiko - ordigita sistemo de penso kiu kreas la rilaton inter la donitaj kondiĉoj kaj permesas vin fari induktojn surbaze supozoj kaj taksoj. Tre Ofte, ni petas reciproke: "Estas logike" La respondo konfirmas niajn supozojn aŭ kritikas la trajnon de penso. Sed la procezo ne haltas tie: ni daŭre paroli.

Foje la nombro de kondiĉoj (input) estas tiel granda, kaj la rilato inter ili estas tiom konfuza kaj kompleksa ke la homa cerbo ne povas "digesti" ĉiuj samtempe. Vi eble bezonas pli ol unu monato (semajno, jaro) por la kompreno de kio okazas. Sed moderna vivo ne donas al ni ĉi tiujn tempon intervaloj por preni decidojn. Kaj ni recurrir al la helpo de komputiloj. Kaj estas ĉi tie ke estas algebro kaj logiko, kun sia leĝoj kaj ecoj. Post malŝarĝi ĉiujn originalajn datumojn, ni permesas la komputilo rekoni ĉiuj rilatoj, forigi kontraŭdiroj kaj trovi kontentigan solvon.

Matematiko kaj logiko

Famaj Gotfrid Vilgelm Leybnits formulis la koncepton de "matematika logiko", kio taskoj estis facile kompreni nur malgranda cirklo de akademiuloj. De aparta intereso estas la direkto ne kaŭzis, kaj al la mezo de la jarcento jarcento de matematika logiko konata de malmultaj.

La granda intereso en la scienca komunumo kaŭzis disputo en kiu la anglo Dzhordzh Bul deklaris sian intencon establi branĉon de matematiko, ne havanta absolute neniu praktika uzo. Kiel ni scias el la historio, tiutempe aktive evoluantaj industria produktado, ni disvolvis ĉiajn helpa maŝinoj, t. E. Ĉiuj sciencaj malkovroj havis praktikan orientiĝo.

Rigardante antaŭen, ni diras, ke Bulea algebro - la plej uzata en la mondo hodiaŭ parto de matematiko. Do via argumento Buhl perditaj.

Dzhordzh Bul

La personeco de la aŭtoro meritas specialan atenton. Eĉ donita la fakto ke en la pasinteco homoj kreskis antaŭ ni, ankoraŭ ni notu, ke en la 16 jaroj de Johano. Buhl instruis ĉe la vilaĝa lernejo, kaj al 20 jaroj malfermis sian lernejon en Lincoln. Matematikisto perfekte majstris kvin fremdajn lingvojn, kaj en liaj liberaj momentoj, legis la verkojn de Newton kaj Lagrange. Kaj ĉiu ĉi tio - la ordinara laboristo filo!

En 1839, Buhl sendis sian unuan sciencaj artikoloj en la Cambridge Mathematical Journal. Sciencisto turnis 24 jaro. Bulea laboro estas tiel interesataj membroj de la Reĝa Societo, en 1844 li ricevis medalon por sia kontribuo al la evoluo de matematika analizo. Kelkaj eldonita paperoj en kiuj la elementoj de matematika logiko, matematiko permesis la junan preni la postenon de instruisto en la Kolegio de Cork County estis priskribitaj. Memoru ke je la Boole edukado ne.

ideo

Principe, Bulea algebro estas tre simpla. Ekzistas asertoj (logika esprimoj) kiu, de la vidpunkto de matematiko, povas nur esti difinita en du vortoj: "vera" aŭ "falsa". Ekzemple, arboj printempe floras - la vero, en la somero neĝas - mensogo. La beleco de la matematiko estas, ke ĝi ne estas strikte necesa por uzi nur numerojn. Por la algebro juĝoj tute taŭgas ajna deklaroj kun unika signifo.

Tiel, la algebro de logiko povas esti uzata laŭvorte ĉie: en la planado kaj skribo instrukcion, analizo de konfliktantaj informoj pri la okazaĵoj kaj la determino de la sinsekvon de agoj. La plej grava afero - por kompreni ke ne gravas kiel ni determini la veron aŭ falseco de deklaroj. El tiuj "kiel" kaj "kial" vi devas ignori. Kio gravas estas nur deklaro de fakto: la vero estas mensogo.

Kompreneble, programado la plej gravaj funkcioj de la algebro de logiko kiuj estas registritaj kun konvenaj signoj kaj simboloj. Kaj lerni ilin - ĝi signifas lerni novan fremdan lingvon. Nenio estas neebla.

Bazaj konceptoj kaj difinoj

Sen iranta en profundo, ni pritrakti terminologio. Do, Bulea algebro antaŭsupozas:

• deklaroj;
• logika operacioj;
• funkcioj kaj leĝojn.

Deklaroj - ajna jese esprimo kiu povas interpreti du-valora. Ili estas skribitaj kiel nombroj (5> 3) aŭ formulita familiara vortoj (elefanto - la plej granda mamulo). En ĉi tiu kazo, la frazo "la ĝirafo kolon ne estas" ankaŭ havas rajton ekzisti, nur Bulea algebro difini ĝin kiel "mensogo".

Ĉiuj deklaroj devus esti unusenca, sed eble estas baza aŭ kombinaĵo. Lastaj uzon logika pakaĵo. E. En la algebro deklaroj juĝoj komponaĵo formita de la aldono de elementa logiko operacioj.

Bulea algebro operacioj

Ni jam memoros ke la operacioj en la algebro de juĝoj - logika. Kiel la algebro de nombroj per la aritmetikaj operacioj aldoni, subtrahi, aŭ kompari nombrojn, matematika logiko elementoj permesas fari kompleksajn deklaroj, nei aŭ por kalkuli la finan rezulton.

Logiko operacioj por la formaligo kaj simpleco esprimis per la formulo, konata al ni en aritmetiko. Propraĵoj de bulea algebro ekvacioj ebligi registri kaj kalkuli la nekonata. Logikaj operacioj estas kutime gravurita de la vero tablo. Pli elementoj difini kolumnoj kaj komputado operacio kiu estas farita sur ili, kaj la vicoj montras la rezulton de kalkulo.

Bazaj logiko de agado

La plej komuna en la bulea algebro operacioj estas neado (NE), kaj la logika KAJ kaj AŬ. Do eblas priskribi preskaŭ ĉiujn paŝojn en algebro juĝoj. Ni studis detale ĉiu el la tri operacioj.

La nego (ne) aplikas al nur unu elemento (argumento). Tial, la operacio estas nomata unuloka nego. Por registri la koncepto de "ne A" uzante tiaj simboloj: ¬A, A aŭ A !. En tabular formo ĝi aspektas tiel:

La funkcio de neo tipa de tia aserto: se A estas vera, tiam A - estas malvera. Ekzemple, la luno ĝiras ĉirkaŭ la Tero - la vero; Tero turniĝas ĉirkaŭ la luno - mensogo.

Logika multipliko kaj krom

Logika KAJ operacio estas nomata konjunkcio. Kion tio signifas? Unue, ke ĝi povas esti aplikita al du argumentoj, kio estas, mi - .. Duumaj operacio. Due, ĝi estas nur en la kazo de la vereco de ambaŭ operandoj (ambaŭ A kaj B) estas vera kaj la esprimo mem. La proverbo: "Pacienco kaj iom peno" implicas ke nur du faktoroj povas helpi persono trakti la malfacilaĵojn.

simboloj estas uzataj por registrado: A∧B, A⋅B aŭ A && B.

Konjunkcio estas simila al multipliko en aritmetiko. Foje kaj diri - logika multipliko. Se multobligi la elementoj de la vicoj de la tablo, ni atingos rezulto simila al logika pensado.

Disjunkcio estas logika AŬ operacio. Estas TRUE se almenaŭ unu el la deklaroj estas vera (ĉu A aŭ B). Estas skribita tiel: A∨B, A + B aŭ A || B. la vero tablon por tiuj operacioj estas:

Disjunkcio simila aritmetiko Krome. logika Krome operacio havas nur unu limigo: 1 + 1 = 1. Sed ni memoru, ke en cifereca formato estas limigita al matematika logiko 0 kaj 1 (kie 1 - la veron, 0 - falsa). Ekzemple, la aserto "en la muzeo povas vidi ĉefverko aŭ trovi bonan entrepreno" signifas tion, kion vi povas vidi verkojn de arto, kaj ĝi eblas renkonti interesa persono. Samtempe, ne forĵetas la eblon de samtempaj plenumon de ambaŭ okazaĵoj.

Funkcioj kaj leĝoj

Do, ni jam scias kio la logika operacio uzante Bulea algebro. Funkcioj priskribi ĉiujn proprietojn de la elementoj de matematika logiko, kaj permesas al ni simpligi kompleksan komponaĵon deklaroj. La plej klara kaj simpla ŝajnas malakcepto proprieto de la derivitaj operacioj. Per derivaĵoj estas komprenita XOR, implico kaj ekvivalenteco. Kiel ni legas nur la bazajn operaciojn, kaj poste la posedaĵon ankaŭ nur konsideri ilin.

Asocieco signifas ke en la deklaroj kiel ekzemple "ambaŭ A kaj B, kaj B 'sinsekvo de kantoj de la argumentoj ne gravas. La formulo estas skribita tiel:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kiel vi povas vidi, ĉi tiu ne estas unika al la konjunkcio sed disjunkcio.

Komuteco argumentas ke la rezulto de la konjunkcio aŭ disjunkcio ne dependas de kion elemento estis konsiderita al la komenco:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distribueco permesas malkaŝi krampoj en kompleksa logika esprimoj. Reguloj estas similaj al la malfermo paréntesis en la multipliko kaj krom en algebro:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unueco proprietoj kaj nenio, kiu povas esti unu el la operandoj estas ankaŭ simila al la algebra multipliko per nulo aŭ unu, kaj aldono de unuo:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency diras al ni, ke, se relative du egalaj argumentoj la rezulto de la operacio estas la sama, oni povas "ĵeti" la eksceso kompliki rezonado argumentoj. Kaj la konjunkcio kaj disjunkcio operacioj estas kvadrategala.

B∧B = B; B∨B = B.

Akiraĵo ankaŭ permesas al ni simpligi la ekvacion. Absorción deklaras ke kiam la esprimo estas aplikita al unu argumento, alia operacio kun la sama elemento de la rezulto argumento iras sorbante operacio.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sinsekvo de operacioj

La sekvenco de operacioj estas de granda graveco. Efektive, kiel por algebro, estas prioritato funkcion kiu uzas Bulea algebro. Formuloj povas esti simpligita nur submetitaj al la signifo de la operacioj. Klasifiko de la plej gravaj por nekonsiderinda, rezultiĝas la sekva sekvenco:

1. Neo.

2. Konjunkcio.

3. La disjunkcio, XOR.

4. La implico, ekvivalento.

Kiel vi povas vidi, nur la negado de la konjunkcio kaj ne havas egalan prioritaton. Al prioritato de la disjunkcio kaj XOR estas egalaj, kaj ankaŭ la prioritatoj de implico kaj ekvivalenteco.

Funkcioj de implico kaj ekvivalenteco

Kiel ni diris, aldone al la baza logika operacioj, matematika logiko kaj teorio de algoritmoj uzanta derivaĵojn. Estas plej ofte la implico kaj ekvivalenteco.

La implico aŭ logika sekvo - tiun deklaron, en kiu unu ago estas kondiĉo, kaj la alia - la rezulto de ĝia efektivigo. Alivorte, ĉi tiu propono kun la preteksto de "se ... tiam". "Post vespermanĝo venas la kalkulado." E. Por veturanta esti streĉita sur la sledo monteto. Se ne ekzistas deziro por movi malsupren de la monto, kaj poste treni la sledo estas ne necesa. Estas skribita tiel: A → B aŭ A⇒B.

Ekvivalento implicas ke la pura efekto okazas nur kiam ambaŭ operandoj estas vera. Ekzemple, nokto donas vojon al tago tiam (kaj nur tiam), kiam la suno leviĝas super la horizonto. En la lingvo de matematika logiko de ĉi tiu deklaro estas skribita kiel A≡B, A⇔B, A == B.

Aliaj leĝoj de Bulea algebro

Algebro juĝo evoluas, kaj multaj interesataj sciencistoj formuli novajn leĝojn. La plej fama estas konsideritaj postula skota matematikisto O. De Morgan. Li rimarkis kaj donis difinon de tiaj ecoj kiel fermi nego, krom kaj duobla negativa.

Fermi neo sugestas ke antaŭ la paréntesis estas firma: ne (A aŭ B) = ne A aŭ B. NE

Kiam la argumento estas neita, sendepende de ĝia valoro, diri pri Krome:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Kaj fine, la duobla neado mem kompensas. Ie antaŭ ĉiu argumento nego malaperas aŭ restas nur unu.

Kiel solvi testoj

Logiko implicas simpligo antaŭdeterminita ekvacioj. Ĝuste kiel en la algebro de Lie, ĝi estas necesa por maksimume faciligi unua kondiĉo (forigi komplika enigo operacioj, kaj kun ili), tiam komencos serĉanta ĝustan respondon.

Kion fari simpligi? Konverti ĉiuj derivaĵoj en simpla operacio. Tiam malkovri ĉiujn krampoj (aŭ inverse, por fari la krampoj redukti tiun elementon). La sekva paŝo estus uzi Bulea algebro ecoj praktike (absorción ecoj nulo kaj unu, kaj t.).

Finfine, la ekvacio devus konsisti en minimuma nombro de misteroj, kombinita kun simplaj operacioj. La plej facila maniero por serĉi solvon, se vi faras grandan nombron da proksime negativaj. Tiam la respondo estos popo supren, kvazaŭ per si mem.