La nedifinita integralo. Kalkulado de nedifinita integraloj

Unu el la fundamentaj partoj de matematika analizo estas la integrala kalkulo. Ĝi kovras tre larĝa kampo de objektoj, kie la unua - tio estas la nedifinita integralo. Pozicio ĝi staras kiel ŝlosilo kiu estas ankoraŭ en mezlernejo malkaŝas kreskanta numero de perspektivojn kaj eblecojn, kiujn priskribas pli alta matematiko.

aspekto

Al unua vido, ŝajnas tute integrita al la moderna, tópica, sed praktike ĝi turnas ke li revenis en 1800 al. Hejmo por oficiale konsiderita Egiptio kiel ne alvenis al ni pli frue pruvo de ĝia ekzisto. Ĝi pro manko de informo, la tutan tempon poziciigita simple kiel fenomeno. Li refoje konfirmas la nivelo de scienca disvolviĝo de la popoloj de tiuj tempoj. Fine, la verkoj estis trovitaj la antikvaj grekaj matematikistoj, datiĝas de la 4a jarcento al. Ili priskribas la metodo uzita kie la nedifinita integralo, la esenco de kiu estis trovi la volumo aŭ areon de curvilínea formo (tridimensia kaj du-dimensia ebeno, respektive). kalkulo estis bazita sur la principo de divido de la originala figuro en infinitezimaj eroj, kondiĉe ke la volumeno (areo) estas jam konata al ili. Kun la tempo, la metodo kreskis, Arkimedo uzis ĝin por trovi la areon de parabolo. Similaj kalkuloj samtempe konduki ekzercoj en antikva Ĉinio, kie ili estas tute sendependa de la greka ulo scienco.

disvolviĝo

La sekva antaŭas en la XI-a jarcento aK iĝis la laboro de la Araba erudiciulo "ĉaro" Abu Ali al la-Basri, kiu puŝis la limojn de la jam konata, estis derivitaj de la integrala formulo por kalkulanta la sumoj de la kvantoj kaj gradoj de la unua ĝis la kvara, apliki por tiu konata al ni indukto metodo.
Mensoj de hodiaŭ estas admirata de la antikvaj egiptoj kreis la mirindajn monumentoj sen specialaj iloj, krom tiu de siaj propraj manoj, sed ne estas potenco frenezaj scienculoj de la epoko ne malpli miraklo? Kompare kun la aktualaj tempoj de siaj vivoj ŝajnas preskaŭ primitiva, sed la decido de nedifinita integraloj deduktis ĉie kaj uzis praktike por plua evoluo.

La sekva paŝo okazis en la XVI jarcento, kiam la itala matematikisto Cavalieri alportis nedividebla metodo, kiu prenis Per Ferma. Tiuj du personeco amorigis la fundamenton por la moderna integrala kalkulo, kiu estas konata nuntempe. Ili ligis la nociojn de derivo kaj integriĝo, kiu estis antaŭe konsiderata kiel memstara unuoj. De kaj granda, la matematiko de tiu tempo estis fragmentado partikloj trovoj ekzisti aparte, kun limigita uzo. Vojo por unuigi kaj trovi komunan bazon estis la sola vera por la momento, danke al li, la moderna analitiko havis la ŝancon kreski kaj disvolvi.

Kun la paŝo de la tempo ŝanĝas ĉion kaj la integrala simbolo ankaŭ. De kaj granda, estis designada sciencistoj kiuj en sia propra maniero, ekzemple, Neŭtono uzata kvadrata ikono, kiu metis integralebla funkcio, aŭ simple kunmetita. Tiu malegaleco daŭris ĝis la jarcento jarcento, kiam limŝtonon por la tuta teorio de analitiko sciencisto Gotfrid Leybnits enkondukis tian karakteron konata al ni. Plilongigita "S" estas fakte bazita sur tiu letero de la roma alfabeto, ekde signifas la sumon de primitivoj. La nomo de la integralo akiris danke al Jakob Bernoulli, post 15 jaroj.

La formala difino

La nedifinita integralo dependas de la difino de la primitiva, do ni enmetu en la unua loko.

Malderivaĵo - estas la inversa funkcio de la derivaĵo, praktike ĝi nomiĝas primitivaj. Alie: primitiva funkcio de d - estas funkcio D, kiu estas la derivaĵo v <=> V '= v. Serĉu primitiva estas kalkuli la nedifinita integralo, kaj la procezo mem nomiĝas integriĝo.

ekzemple:

La funkcio s (y) = y ^3, kaj ĝia primitiva S (y) = (y ^4/4).

La aro de ĉiuj primitivoj de la funkcio - tio estas nedifinita integralo, signifis ĝin kiel sekvas: ∫v (x) dx.

En virto de la fakto ke V (x) - estas nur iuj primitivaj originala funkcio, esprimo tenas: ∫v (x) dx = V (x) + C, kie C - konstanto. Sub la arbitra konstanto rilatas al ajna konstanto, ekde ĝia derivaĵo estas nulo.

ecoj

La proprietoj posedita de la nedifinita integralo, esence bazita sur la difino kaj propraĵoj de derivaĵoj.
Konsideru la ŝlosilaj punktoj:

• integra derivaĵo de la primitiva estas primitiva mem plus ajna konstanto C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivaĵo de la integralo de funkcio estas la originala funkcio <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstanto estas prenita el sub la integrala signo <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, kie k - estas arbitra;
• integra, kiu estas prenita de la sumo de la idente egala al la sumo de integraloj <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (kaj) dy + ∫w (kaj) dy.

La lastaj du propraĵoj povas fini ke la nedifinita integralo estas lineara. Pro tio, ni havas: ∫ (kv (kaj) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (kaj) dy + l∫w (kaj) dy.

Vidi ekzemplojn de fiksi solvoj nedifinita integraloj.

Vi devas trovi la integralo ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

De la ekzemplo ni povas konkludi, ke vi ne scias, kiel solvi nedifinita integraloj? Nur trovi ĉiujn primitivoj! Sed la serĉado de la principoj diskutita sube.

Metodoj kaj Ekzemploj

Por solvi la integralo, vi povas recurrir al la sekvaj metodoj:

• pretaj utiligi la tablo;
• integrante poparta;
• integritaj anstataŭigante la variablo;
• resumante sub la signo de la diferencial.

tabloj

La plej simpla kaj ĝua vojo. Nuntempe, matematika analizo povas fanfaroni sufiĉe vasta tabloj, kiuj literumita el la baza formulo de nedifinita integraloj. Alivorte, ekzistas ŝablonoj derivita dependas de vi kaj vi nur povas utiligi ilin. Jen la listo de la ĉefa tablo pozicioj, kiu povas esti montrita preskaŭ ĉiu kazo, ĝi havas solvon:

• ∫0dy = C, kie C - konstanta;
• ∫dy = y + C, kie C - konstanta;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, kie C - konstanta, kaj n - nombro malsama unueco;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, kie C - konstanta;
• ^{∫e y dy = e y + C} , kie C - konstanta;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, kie C - konstanta;
• ∫cosydy = siny + C, kie C - konstanta;
• ∫sinydy = -cosy + C, kie C - konstanta;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, kie C - konstanta;
• ∫dy / sen ² kaj = -ctgy + C, kie C - konstanta;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, kie C - konstanta;
• ∫chydy = timema + C, kie C - konstanta;
• ∫shydy = Chy + C, kie C - konstanto.

Se necese, fari kelkajn paŝojn konduki integralato al tabular vido kaj ĝui la venkon. EKZEMPLO: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x peko (5x - 2) + C.

Laŭ la decido estas klare, ke ekzemple tablon integralato mankas multiplikanto 5. Ni aldonu ĝin paralele kun tiu multiplikante per 1/5 por ĝenerala esprimo ne ŝanĝiĝis.

Poparta integralado

Konsideru du funkcioj - z (y) kaj x (y). Ili devas esti kontinue diferencialebla sur ĝia domajno. En unu diferenciación ecoj ni havas: d (XZ) = xdz + zdx. Integrante ambaŭ flankoj, ni preni: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Reescribir la rezultanta ekvacio, ni akiras la formulo, kiu priskribas la metodon de poparta integralado: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Kial necesas? La fakto ke kelkaj el la ekzemploj eblas simpligi, ni diru, por redukti ∫zdx ∫xdz, se la lasta estas proksime al la tabular formo. Ankaŭ, ĉi tiu formulo povas esti uzata pli ol unufoje, por optimuma rezultojn.

Kiel solvi nedifinita integraloj tiamaniere:

• necese kalkuli ∫ (j + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• devas kalkuli ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Anstataŭante la variablo

Tiu principo de solvi nedifinita integralo estas ne malpli en postulo ol la du antaŭaj, kvankam komplika. La metodo estas la jena: Estu V (x) - la integralo de iu funkcio v (x). En la evento ke en si mem integralo en Ekzemplo slozhnosochinenny venas, verŝajne akiri konfuzita kaj iri malsupren la malĝustan vojon solvoj. Por eviti ĉi tiun praktikon ŝanĝo de la variablo x al z, en kiu la ĝenerala esprimo vide simpligita subtenante la z laŭ x.

En matematikaj terminoj, ĉi tiu estas la jena: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), kie x = y ( z) - anstataŭigo. Kaj, kompreneble, la inversa funkcio z = y ^-1 (x) plene priskribas la interrilaton kaj la interrilato de variabloj. Grava noto - la diferencialaj dx nepre anstataŭita per nova diferencialaj dz, ĉar la ŝanĝo de variablo en la nedifinita integralo engaĝas anstataŭante ĝin ĉie, ne nur en la integralato.

ekzemple:

• devas trovi ∫ (j + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Apliki la anstataŭo z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Tiam dz = 2sds = 2 + 2 (j + 1) ds <=> (j + 1) ds = dz / 2. Rezulte, la sekva esprimo, kiu estas tre facile kalkuli:

∫ (j + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2s-5 | + C;

• Vi devas trovi la integralo ∫2 ^s e ^s dx

Solvi la reverko en la sekva formo:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Ni signifi per = 2e (anstataŭigo de la argumento tiu paŝo ne estas, ĝi estas ankoraŭ s), ni donas nian ŝajne komplika integra al bazaj tabular formo:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + C.

Resumante diferenciala signo

De kaj granda, ĉi tiu metodo de nedifinita integralo - la ĝemela frato de la principo de la ŝanĝo de variablo, sed estas diferencoj en la procezo de registriĝo. Ni konsideru pli detale.

Se ∫v (x) dx = V (x) + C kaj y = z (x), tiam ∫v (kaj) dy = V (y) + C.

Samtempe ni ne forgesu la bagatela integraj transformoj, inter kiuj:

• dx = d (x + a), kaj kiu - ĉiu konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kie - konstanta denove, sed ne nul;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Se ni konsideras la ĝenerala kazo kie ni kalkulas la nedifinita integralo, ekzemploj povas esti inkluditaj sub la ĝenerala formulo w '(x) dx = dw (x).

ekzemploj:

• devas trovi ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (Coss) / Coss = -ln | Coss | + C.

rete helpo

En iuj kazoj, la kulpo de kiuj povas fariĝi aŭ pigreco, aŭ urĝa bezono, vi povas uzi la enretan instigas, aŭ prefere, uzi kalkulilon nedifinita integraloj. Malgraŭ la ŝajna komplekseco kaj polemika naturo de la integraloj, la decido estas subjekto al ilia specifa algoritmo, kiu estas bazita sur la principo de "se vi ne ... tiam ...".

Kompreneble, oni aparte komplikaj ekzemploj de tia kalkulilo ne majstri, ĉar ekzistas kazoj en kiuj decido devas trovi artefarite "devigita" enkondukante iuj elementoj en la procezo, ĉar la rezultoj estas evidentaj manieroj por atingi. Malgraŭ la polemika naturo de tiu aserto, estas vere, kiel la matematiko, principe, abstrakta scienco, kaj ĝia ĉefa celo konsideras la bezonon sinpovigi la limoj. Efektive, por glata kuro-en la teorioj estas tre malfacile movi supren kaj evolui, do ne supozi, ke la ekzemploj de solvi nedifinita integralo, kiu donis al ni - tio estas la alteco de ŝancoj. Sed reen al la teknika flanko de aferoj. Almenaŭ por kontroli la ŝtonojn, vi povas uzi la servon en kiu estis skribita por ni. Se estas bezono por aŭtomata kalkulo de kompleksa esprimoj, ili ne devas recurrir al pli serioza programaro. Devus atenti unuavice pri la medio MATLAB.

aplikaĵo

La decido de nedifinita integraloj unuavide ŝajnas tute dekroĉita de realaĵo, ĉar estas malfacile vidi la evidenta uzo de la ebena. Efektive, rekte uzi ilin ie ajn vi povas, sed ili estas necesaj interaj elemento en la procezo de retiro de solvoj uzitaj en praktiko. Tiel, la integriĝo de reen diferencialado, tiel aktive partopreni en la procezo de solvi ekvacioj.
Siavice, ĉi tiuj ekvacioj havas rektan efikon sur la decido de mekanikaj problemoj, trajektorion ŝtono kaj conductividad termika - mallonge, ĉio konstituas la aktualan kaj formanta la estontecon. Nedifinita integralo, ekzemploj de kiuj ni konsideris supre, nur bagatela al unua vido, kiel bazo por realigi pli kaj pli novaj malkovroj.