Bazoj matematika analizo. Kiel trovi la derivaĵo?

Derivaĵo de funkcio f (x) je specifa punkto x 0 funkcio nomita kresko kvociento limo al la pliigo de la argumento, kondiĉe ke x esti 0, kaj la limo ekzistas. Derivaĵoj ĝenerale designado streko, foje per punkto aŭ per diferencialaj. Ofte, la derivaĵo de la translima misgvida rezultojn, ĉar tia prezento estas malofte uzita.

Funkcio, kiu havas la derivaĵo je aparta punkto x 0, nomita diferencialebla je tia punkto. Alpreni, D1 - pluralidad de punktoj ĉe kiuj la funkcio f estas diferencita. Atribuante al ĉiu unu el la nombroj x, apartenanta D f '(x), ni ricevi la funkcio designación areon D1. Tiu funkcio estas derivaĵo de y = f (x). Estas elektita kiel: f '(x).

Plue, la derivaĵo komune uzita en fiziko kaj inĝenierado. Konsideru simplan ekzemplon. La materialo punkto moviĝas sur koordinata akso, kiam demandis kio la leĝo de moviĝo, kiu, x-koordinato de ĉi tiu punkto estas konata x (t) funkcio. Dum la tempa intervalo de t0 al t0 + t egalas la movo de la punkto x (t0 + t) -x (t0) = x, kaj lia duona rapido v (t) egalas al x / t.

Foje la naturo de la movado prezentis por ke la duona rapido ne ŝanĝas je malgrandaj intertempoj de tempo, kio signifas, ke movado kun plej granda grado de precizeco estas konsiderata uniformo. Alternative, la valoro de la meza rapideco se t0 sekvas al iu absolute preciza valoro, kaj estas nomata kiel la _instantaneous_ rapido v (t0) tiu punkto en aparta momento de tempo t0. Oni kredas ke la instantáneas rapido v (t) estas konata pro ajna diferencitaj funkcio x (t), ĉe kio v (t) estas egala al x (t). Simple dirite, la rapido - ĝi estas derivita de la koordinatoj de tempo.

_instantaneous_ rapido havas ambaŭ pozitivan kaj negativan valoroj, kaj la valoro estas 0. Se ĝi estas en momento donita intervalo (T1, T2) estas pozitiva, tiam la punkto moviĝas en la sama direkto, tio estas:, x (t) kunordigi pliigas kun la tempo, kaj se v (t) estas negativa, tiam la koordinato x (t) malgrandiĝas.

En pli kompleksa kazoj, la punkto moviĝas en la aviadilo aŭ en spaco. Tiam la rapideco de - vektora kvanto, kaj ĝi determinas ĉiu de la koordinatoj de vektoro v (t).

Simile, oni povas kompari la aceleración de la punkto. Rapido estas funkcio de tempo, kio estas, v = v (t). Derivita de tia funkcio - moviĝo akcelo: a = v '(t). Tio estas, ĝi rezultas ke la tempa derivaĵo de rapido estas akcelo.

Supozu y = f (x) - iu diferencita funkcio. Tiam ni povas konsideri la movado de punkto sur la akso de koordinatoj, kio okazas por la leĝo x = f (t). Mekanika konservo de la derivaĵo donas la ŝancon provizi klara interpreto de la teoremoj de la diferenciala kalkulo.

Kiel trovi la derivaĵo? Trovanta la derivaĵo de funkcio estas nomita lia diferenciación.

Meti vian ekzemploj de kiel trovi la derivaĵo de la funkcio:

La derivaĵo de konstanta funkcio egalas al nulo; derivaĵo de la funkcio y = x egalas unueco.

Kaj kiel trovi la derivaĵo de la frakcio? Por fari tion, konsideru la sekvan materialon:

Por ajna x 0 <> 0 ni havas

y / x = -1 / x 0 * (x + x)

Estas iuj reguloj, kiel trovi la derivaĵo. nome:

Se la funkcioj A kaj B estas diferencitaj punkto x 0, tiam ilia sumo estas diferenci je punkto: (A + B) '= A' + B '. Simple dirite, la derivaĵo de sumo egala al la sumo de la derivaĵoj. Se la funkcio estas diferenci en iu punkto, tiam ĝi devas pliigo al nulo kiam sekvante la argumento al nulo gajno.

Se la funkcioj A kaj B estas diferencitaj punkto x 0, tiam ilia produto estas diferenci ĉe: (A * B) '= A'B + AB'. (Valoroj funkcioj kaj iliaj derivaĵoj estas kalkulita je la punkto x 0). Se la funkcio A (x) estas diferencitaj en punkto x 0, kaj C - konstanto, tiam CA funkcio estas diferenci ĉe tiu punkto kaj (CA) '= CA'. Ĉi tio estas, konstanta faktoro prenita ekster la signo de la derivaĵo.

Se la funkcioj A kaj B estas diferencitaj punkto x 0, kaj la funkcio B estas ne egala al nulo, tiam la proporcio ankaŭ diferencis je: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B